積分ランダム問題集

【難易度★】
　高校数学の教科書の基本的な例題レベルの難易度です。
　基本を理解できているかのチェックをしたい方向けです。

【難易度★★】
　高校数学の教科書の演習・章末問題のレベルの難易度です。
　数学の定期試験の対策がしたい方向けです。

【難易度★★★】
　高校数学の教科書の問題と比べ、やや難しい難易度です。
　入試問題の基礎的なレベルの問題を解きたい人向けです。

【難易度★★★★】
　高校数学の教科書と比較して、高い難易度の問題です。
　入試問題の難しいレベルの問題を解きたい人向けです。

【ランダムに出題】
従来の問題集では、問題の種類ごとに整理されている形式が一般的であるため、解き始める前に『解法のパターン』を分かった上で解くことになります。

そのため、従来の問題集では問題文から解法を見抜く力を養うことができないという欠点があります。

本問題集では、問題をランダムに出題することで定期テスト・入試問題で必須となる "問題文から解法を見抜く力" が付くように意図しています。

また、本ページの下部に問題の一覧も掲載しているため、通常の問題集としても活用できます。

【ヒントボタン】
本問題集では、問題の下のヒントボタンを押すことで解答のヒントが見れるようにしています。

『自力で解けそうな場合はヒントなしで解く』、『手も足も出ない場合にヒントを見る』とすることで "段階的にレベルアップ" できることを意図しています。

【問題数】
本問題集では、高校数学Ⅱ・Ⅲの積分に関連する問題を計160問掲載しています。

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int (5x^4 -7x +1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int (4t^3 -6 t^2 +8t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int (2x-1)(3x+2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int (x-t)(2x+t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int (x-at)(x+bt) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int_1^2 (3x+2)(x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int_2^4 (2x-4)(x-4) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (x^2-2x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int_{-1}^{1} (3x^2+x)dx - \int_{3}^{1} (3x^2+x)dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} |x-1|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int_{0}^{4} |x^2-2x-3|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int_{0}^{3} |x^2-4|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} x |x -1|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

・次の式を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)を求めよ
問題15 : \(\displaystyle{f(x) = 3x^2 + 2 \int_0^2 f(t) dt\hspace{2pt}}\)

・次の式を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)と定数\({\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)を求めよ
問題16 : \(\displaystyle{\int_a^{x}f(x)\hspace{1pt} dx = 3x^2+4x-4\hspace{2pt}}\)

【面積の問題】
　次の曲線・直線に囲まれた面積を求めよ

問題17 : \({y=x^2-2x-8\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}x}\)軸

問題18 : \({y=3x^2-5x+3\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=4x-3\hspace{2pt}}\)

問題19 : \({y=2x^2-5x-5,\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=-2x^2+3x+7}\)

問題20 : \({y=-2x^2+2,\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=x^2+6x + 5\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({\hspace{1pt}x=2}\)

問題21 : 放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +3ax\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(a > 0)\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸で囲まれた部分の面積が\(\hspace{1pt}9\hspace{1pt}\)のとき、定数\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を求めよ

【積分計算の問題】
　以下の定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int_{-1}^{3} (\sqrt{x^2} +\sqrt{x^2-4x+4}) dx}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} (\sqrt{x^4 -2x^2 +1} +x) dx}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int_{0}^{1} |x^2-ax| dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(a>0)}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} |x^2-a^2| dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(a>0)}\)

問題5 : 次の等式が成り立つ\(\hspace{2pt}\theta\hspace{1pt}\)\({\hspace{2pt}(\hspace{1pt}0 < \theta < \pi)\hspace{2pt}}\)の値を求めよ。
$$ \int_{-\sin \theta}^{\sin^2 \theta}|x| dx = \frac{3}{8} $$
　

【面積の問題】
問題6 : 放物線\({\hspace{1pt}C}\)\({(y=2x^2-3x+5)\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)放物線\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)上の点\({(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}10\hspace{1pt})}\)における接線\({\hspace{2pt},\hspace{2pt}x=2 \hspace{2pt}}\)に囲まれた面積を求めよ
　

問題7 : 放物線\({\hspace{1pt}C}\)\({(y=2x^2-4x+5)\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)放物線\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)上の点\({(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}11\hspace{1pt})}\) , \({(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}5\hspace{1pt})}\)における2本の接線に囲まれた面積を求めよ
　

問題8 : 放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +2x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸で囲まれた部分の面積を直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)で二等分するときの、定数\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)を求めよ
　

問題9 : 放物線\(\hspace{2pt}y = -x^2 +5x\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸で囲まれた部分の面積を直線\(\hspace{1pt}y = mx\hspace{1pt}\)で分けたとき、直線の上側の面積と下側の面積が\(\hspace{1pt}1 : 5\hspace{1pt}\)となる定数\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt}\)を求めよ
　

問題10 : \({y=x^2+2x-3\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\({y=mx +2}\) \({(m \neq 0)}\) に囲まれた面積の最小値を求めよ

【積分計算の問題】
　以下の定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} \left | |x-1| - a \right |dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(a>0)}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int_{ 0 }^{ \cos \theta} \hspace{1pt}\left | \hspace{1pt}x - \frac{1}{2} \hspace{1pt} \right | \hspace{1pt} dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(0 < \theta < \frac{\pi}{2})}\)
　

【最小値・最大値】
問題3 : \({a\hspace{2pt}}\)は実数とする
　　(1) 定積分\(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{0}^{1} |x^2-ax| dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を求めよ
　

問題4 : \({a > 0 \hspace{2pt}}\)とする
　　(1) 定積分\(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{a}^{a+1} |x^2-1| dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)を求めよ
　

問題5 : \({0 < \theta < 2\pi \hspace{2pt}}\)とする
　　(1) 定積分\(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{0}^{1} |x - \sin \theta| dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めよ
　

【面積の問題】
問題6 : 次の連立不等式を満たす部分の面積を求めよ
$$ \begin{dcases} & x^2 + y^2 \leqq 1 \\[0.7em] & y \geqq 2 \sqrt{3} x^2 \end{dcases} $$

問題7 : 関数\(\hspace{1pt}f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\hspace{2pt}\)が\(\hspace{2pt}x=c\hspace{2pt}\)で\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸に接している。ただし、\(a , b\hspace{1pt}\)が実数、\(\hspace{1pt}c > 0\hspace{2pt}\)であるとする。
　(1) \(a , b\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)により表せ
　(2) 関数\(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸によって囲まれた面積の最小値と、そのときの\(\hspace{2pt}c\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題8 : 曲線\(\hspace{1pt}y = |x^2-4x|\hspace{2pt}\)と直線\(\hspace{2pt}y = ax\hspace{2pt}\)が異なる\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)点を共有している。この曲線と直線に囲まれた面積を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)とする。ただし、\(a\hspace{1pt}\)は実数とする。
　(1) \(a \hspace{2pt}\)の範囲を求めよ
　(2) 面積\(\hspace{1pt}S \hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)により表せ
　(3) 面積\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)が最小値となる\(\hspace{2pt}a\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題9 : 関数\(\displaystyle\hspace{1pt} f(x) = \frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1\hspace{2pt}\)について以下の問いに答えよ。ただし、\(0 \leqq \theta < 2 \pi\hspace{2pt}\)とする
　(1) 全ての\(\hspace{1pt}\theta \hspace{1pt}\)で\(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフは\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの共有点を持つことを示せ
　(2) \(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さの最小値と、そのときの\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めよ
　(3) \(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた部分の面積の最小値を求めよ
　

問題10 : 曲線\({\hspace{2pt}y=x^2\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{2pt} C \hspace{2pt}}\)とする。直線\({\hspace{2pt} y=2x-3 \hspace{2pt}}\)上を動く点から引いた\({\hspace{1pt} 2 \hspace{1pt}\hspace{1pt}}\)本の接線と曲線\({\hspace{2pt} C \hspace{2pt}}\)によって囲まれる面積\({\hspace{2pt}S\hspace{2pt}}\)が最小になるときの面積を求めよ

【積分計算の問題】

問題1 : 次の問いに答えよ。ただし、\(t \hspace{2pt}\)は正の実数とする。
　(1) \(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{-1}^{1} \left |x^2 - t |x|\right |dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) (1)の定積分の最小値とそのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題2 : 定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{x}^{x+2} \left | t-3x +2\right |dt\hspace{2pt}\)の最小値とそのときの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を求めよ
　

問題3 : 実数\(\hspace{2pt}\alpha , \beta , \gamma\hspace{2pt}\)に対して最も大きい値を\(\hspace{2pt}\max(\alpha , \beta , \gamma)\hspace{2pt}\)と表す. 例えば\(\hspace{2pt}\alpha > \beta > \gamma\hspace{2pt}\)であるとき\(\hspace{2pt}\max(\alpha, \beta)=\alpha\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\max(\alpha, \beta , \gamma)=\alpha\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\max(\alpha, \alpha , \beta )=\alpha\hspace{2pt}\)となる.
　
　次の問いに答えよ. ただし \(a > 0\hspace{2pt}\)とする.
　(1) \(\displaystyle\int_{0}^{1} \max(x^2 , ax) dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) \(\displaystyle\int_{0}^{1} \max(x^2 , ax , 1-x) dx\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題4 : 次の式を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)を求めよ。
　　\(\displaystyle\hspace{2pt}f(x) = 2x-2x^2 \int_0^1 |f(t)|dt\)
　

問題5 : 関数\(\hspace{2pt}f(x)\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}f(x)=(x-[x])^2-2(x-[x])+3-[x]\hspace{2pt}\)とする. ここで\( \hspace{1pt},\hspace{1pt} [x]\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}n \leqq x\hspace{2pt}\)を満たす最大の整数\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)を表す.
　
　　次の問いに答えよ.
　(1) \(0 \leqq x \leqq 2\hspace{2pt}\)における\(\hspace{2pt}y = f(x)\hspace{2pt}\)のグラフをかけ.
　(2) \(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^2 f(x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

【面積の問題】
問題6 : \(1\hspace{2pt}\)個のサイコロを\(\hspace{2pt}3\hspace{2pt}\)回振って出た目を順に\(\hspace{2pt}a,b,c\hspace{2pt}\)とする. このとき, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt} y=ax^2-bx+2c\hspace{2pt}\)と定める.
　
　次の問いに答えよ.
　(1) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が\(\hspace{2pt}2\hspace{2pt}\)つの異なる交点を持つ確率を求めよ.
　(2) 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)が\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{6}\hspace{2pt}\)以上である確率を求めよ.(ただし, 放物線\(\hspace{2pt}C\hspace{1pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸が接するか, 共有点がない場合は\(\hspace{2pt}S=0\hspace{2pt}\)とする.)
　

問題7 : 実数\(\hspace{2pt}p,q\hspace{2pt}\)が\(\hspace{2pt}p^2+q^2 \leqq 1\hspace{2pt}\)を満たしながら動くとする.
　\(x = p+q \hspace{1pt},\hspace{1pt} y=pq\hspace{2pt}\)とするとき, 点\(\hspace{2pt}(x,y)\hspace{2pt}\)の存在する範囲の面積を求めよ.
　

問題8 : 次の問いに答えよ.
　(1) 関数\(\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}f(x) = x^3-x\hspace{2pt}\)とする. 曲線\(\hspace{2pt}y=f(x)\hspace{2pt}\)のグラフの概形を描け.
　(2) 曲線\(\hspace{2pt}y=f(x)\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸方向に\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{1}{2}\hspace{2pt}\)だけ平行移動した曲線を\(\hspace{2pt}y=g(x)\hspace{2pt}\)とする. 次の連立不等式を満たす部分の面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を求めよ.
$$ \begin{dcases} & x^2 + y^2 \leqq 1 \\[0.5em] & y \geqq f(x)\\[0.5em] & y \geqq g(x)\\ \end{dcases} $$
　

問題9 : 次の問いに答えよ.
　(1) 直線\(\hspace{2pt}x=1\hspace{2pt}\)上を移動する点から曲線\(\hspace{2pt}C : y = x^3 -2x+1\hspace{2pt}\)に引ける接線の本数を調べよ.
　(2) 問題(1)において接線の本数が\(\hspace{2pt}1\hspace{1pt}\)本であるとき, 直線\(\hspace{2pt}x=1\hspace{2pt}\)上の点から曲線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)に引いた接線と曲線\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)によって囲まれる面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)の取りうる範囲を求めよ.
　

問題10 : 関数\(\hspace{2pt}f(x)=x^4+2x^3-x^2-x-1\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　(1) 曲線\(\hspace{2pt}y = f(x)\hspace{2pt}\)と異なる\(\hspace{2pt}2\hspace{1pt}\)点で接する直線の方程式を求めよ.
　(2) 曲線\(\hspace{2pt}y = f(x)\hspace{2pt}\)と問題(1)で求めた直線により囲まれる面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{x \sqrt{x}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int \frac{x^3+4x-1}{x^2} dx\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{x+2} -\sqrt{x}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int_1^2 \frac{x^4 +x }{\sqrt{x} } \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int \sin(3x+2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int \cos(6x+1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int 2^{-4x+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int \frac{\cos^2 x -x}{x(1-\sin^2 x)} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int x\sqrt{x+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int \frac{6x-1}{\sqrt{2x+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題15 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題16 : \(\displaystyle{\int \frac{3x^2 -2x}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題17 : \(\displaystyle{\int \tan x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題18 : \(\displaystyle{\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題19 : \(\displaystyle{\int \sin x \cos^5 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題20 : \(\displaystyle{\int x e^{x^2 +1}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題21 : \(\displaystyle{\int (x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題22 : \(\displaystyle{\int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題23 : \(\displaystyle{\int_1^e x \log x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題24 : \(\displaystyle{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題25 : \(\displaystyle{\int x e^{2x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題26 : \(\displaystyle{\int x \sin (2x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題27 : \(\displaystyle{\int \sin^2 3x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題28 : \(\displaystyle{\int \cos^2 5x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題29 : \(\displaystyle{\int \sin 3x \cos 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題30 : \(\displaystyle{\int_0^{\pi} |\sin x - \sqrt{3}\cos x|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題31 : \(\displaystyle{\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題32 : \(\displaystyle{\int_0^2 \frac{1}{x^2+4} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題33 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{x^2-1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)
　

【面積の問題】
　次の曲線・直線に囲まれた面積を求めよ

問題34 : \({xy=4\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({x+y=5}\)

問題35 : \({y=\sin x\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=\sin 2x\hspace{4pt}}\)\({(0 \leqq x \leqq \pi)}\)

問題36 : \({\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({x}\)軸\({\hspace{1pt},\hspace{2pt}y}\)軸

問題37 : \({x=a \cos \theta\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=b \sin \theta\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})}\)
　

【体積の問題】
問題38 : \(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\)を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int \log(2x+1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int \frac{\sin(\log x)}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int \sin (\log x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{ \int x^2 \cos 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{ \int x^2 \sin 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int \sin^3 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int \cos^3 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sin x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\cos x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\sin x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int \cos \sqrt{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \cos x \log( \sin x)\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題15 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\tan x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題16 : \(\displaystyle{\int x \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題17 : \(\displaystyle{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題18 : \(\displaystyle{\int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題19 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題20 : \(\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{-x^2+2x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題21 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{(x-1)^2(x+1)} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)
　

【面積の問題】
問題22 : \({2x^2 -2xy + y^2=3}\) に囲まれた面積を求めよ
　

問題23 : \({x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})\hspace{3pt},\hspace{1pt}x}\)軸 に囲まれた面積を求めよ
　

問題24 : 次の問いに答えよ。ただし\(\hspace{2pt}a\hspace{2pt}\)は実数とする。
　(1) 曲線\(\hspace{2pt}C : y = e^{2x}\hspace{2pt}\)の\({\hspace{1pt}x =a\hspace{1pt}}\)における接線\(\hspace{1pt}l\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) 曲線\(\displaystyle{\hspace{1pt}C\hspace{1pt},\hspace{1pt}}\)接線\(\hspace{1pt}l\hspace{1pt},\)\({\hspace{1pt}x =0\hspace{1pt},}\)\({\hspace{1pt}x =2\hspace{1pt}}\)に囲まれた面積\(\hspace{1pt}S(a)\hspace{1pt}\)を求めよ
　(3) 面積\(\hspace{1pt}S(a)\hspace{2pt}\)の最小値と、そのときの\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値を求めよ
　

問題25 : 次の問いに答えよ。ただし\(\hspace{2pt}a\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}0 \leqq a \leqq \log 2\hspace{2pt}\)とする。
　(1) 不定積分 \(\displaystyle \int \log x\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2) 曲線\(\hspace{2pt} y=\log x -a\hspace{2pt},\)\({\hspace{2pt}x\hspace{1pt}}\)軸\(\hspace{2pt},\hspace{2pt}x=1\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}x=2\hspace{2pt}\)により囲まれた面積\(\hspace{1pt}S(a)\hspace{1pt}\)を求めよ
　(3) 面積\(\hspace{1pt}S(a)\hspace{2pt}\)の最小値と、そのときの\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)の値を求めよ
　

【体積の問題】
問題26 : \(\displaystyle{(x-a)^2+y^2=r^2\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}0 < r < a\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\) を\({\hspace{1pt}y\hspace{1pt}}\)軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int_0^{1} \frac{1}{x^2+x+1}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int_0^\frac{3}{2} \frac{1}{(3-x^2)^{\frac{3}{2}}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int_{\log \sqrt{3}}^{\log 3} \frac{e^x}{e^{2x}+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x }\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int_0^\pi |3 \sin x + \cos x| \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{3 \sin x + 4 \cos x}\hspace{1pt}dx}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int \tan^4 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int \sqrt{x^2+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)
　

問題12 : \(\displaystyle \int_0^{\pi}\sin {m x} \cos {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)(ただし\(\hspace{2pt}m,n\hspace{2pt}\)は正の整数)
　

問題13 : (1)\(\displaystyle \hspace{2pt}\int_{-\pi}^{\pi}\sin {m x} \sin {n x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)(ただし\(\hspace{2pt}m,n\hspace{2pt}\)は正の整数)
　　　　 (2) \(\displaystyle \hspace{2pt} \int_{-\pi}^{\pi} \left ( \sum_1^{100}\sin {k x}\right )^2 \hspace{1pt}dx \)
　

【面積の問題】

問題14 : \(k\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)以上の整数とする。\(\hspace{2pt}k\pi \leqq x \leqq (k+1)\pi\hspace{2pt}\)において曲線\({\hspace{1pt} y=e^{-x}\sin x\hspace{2pt}}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)軸に囲まれる面積\(\hspace{1pt}S(k)\hspace{1pt}\)とするとき、以下の問いに答えよ。
　(1) 不定積分\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int e^{-x} \sin x\hspace{1pt}dx}\) を求めよ
　(2) \(\hspace{2pt} S(k) \hspace{2pt}\)を求めよ
　(3) \(\displaystyle \hspace{2pt} \sum_{k=0}^\infty S(k)\hspace{2pt}\)を求めよ
　

【体積の問題】
問題15 : \({y=\sin x\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}\)\({\left(\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi\hspace{1pt}\right)}\) に囲まれた部分を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ
　

問題16 : 半径\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)の半球に水が満たされているとする。
　この半球を角度\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)だけ傾けたときに、初めに入っていた水と半球に残った水の体積比が\(\hspace{2pt}16 : 5\hspace{2pt}\)となるときの\(\hspace{2pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めよ。(ただし、\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}\)とする。)
　

問題17 : 底面が半径\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)の円柱を、下図のように底面の直径を含み底面と角度\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)をなす平面で切り取ったときの、平面より下側の立体について以下の問いに答えよ。
　ただし、円柱の高さは\(\hspace{2pt}r \tan \theta\hspace{2pt}\)より高いとする。
　(1) 立体の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)を求めよ
　(2) 切り口の断面積\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)を求めよ

【積分計算の問題】
　次の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \hspace{1pt}dx}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1 + \tan x) \hspace{1pt}dx}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int_{\log 2}^{\log 4} \frac{1}{e^x +4e^{-x}-2}\hspace{1pt}dx}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 1}}\hspace{1pt}dx}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt{x^2 + 2}}}\hspace{1pt}dx}\)

問題6 : \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(e^x + e^{-x})^4}\hspace{1pt}dx}\)

問題7 : \(\displaystyle{ \int_1^2 \sqrt{\frac{2-x}{2+x}}\hspace{1pt}dx}\)

問題8 : \(\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^3 x}\hspace{1pt}dx}\)

問題9 : \(\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{10} x\hspace{2pt}dx}\)

問題10 : \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} + 1}\hspace{1pt}dx}\)

問題11 : \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x} +1 }\hspace{1pt}dx}\)

問題12 : \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{(x^2+3x+3)^{\frac{3}{2}} }\hspace{1pt}dx}\)
　

問題13 : 関数\(\hspace{2pt}y=\tan x\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(\displaystyle \hspace{1pt} 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}\hspace{1pt})\hspace{2pt}\)の逆関数を\(\hspace{2pt}y=f(x)\hspace{2pt}\)とする. このとき, \(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\hspace{1pt}dx }\)の値を求めよ.
　

問題14 : 次の(1)～(3)の条件のときの定積分 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + a \cos x}\hspace{1pt}dx $$ 　の値を求めよ.\(\hspace{2pt}(1)\hspace{2pt}a =1\hspace{2pt},\)\(\displaystyle \hspace{2pt}(2)\hspace{2pt}a =\frac{1}{2}\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt} (3)\hspace{2pt} a > 1\hspace{2pt}\)
　

問題15 : \(\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、以下の問いに答えよ。
　(1)　\(\displaystyle I_0 , I_1\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2)　\(\displaystyle I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\hspace{2pt}\)\((\hspace{2pt} n \geqq 2\hspace{2pt})\) を示せ
　(3)　\(\displaystyle I_n\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)の式で表せ
　(4)　\(\displaystyle n I_n I_{n-1}\hspace{2pt}\)\((\hspace{2pt} n \geqq 1\hspace{2pt})\) を求めよ
　(5)　\(\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}\)を示せ
　(6)　\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n {I_n}^2\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題16 : \(\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{4} \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、以下の問いに答えよ。
　(1)　\(\displaystyle I_n + I_{n+2}\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2)　\(\displaystyle I_n > I_{n+1}\hspace{2pt}\)を示せ
　(3)　\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題17 : \(\displaystyle I_n = \int \tan^n x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=0,1,2,\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、以下の問いに答えよ。
　(1)　\(\displaystyle I_0 , I_1\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2)　\(\displaystyle I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}\hspace{2pt}\)\((\hspace{2pt} n \geqq 2\hspace{2pt})\) を示せ
　(3)　\(\displaystyle I_3 \hspace{1pt}, \hspace{1pt}I_4\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題18 : \(\displaystyle I_n = \int_1^e (\log x)^n \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、以下の問いに答えよ。
　(1)　\(\displaystyle I_1\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2)　\(\displaystyle I_{n+1}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}I_n\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}n\hspace{2pt}\)で表せ
　(3)　\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n\hspace{2pt}\)を求めよ
　(4)　\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n I_n\hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題19 : \(\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^n} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n=1,2,3\cdots)\hspace{2pt}\)とおくとき、以下の問いに答えよ。
　(1)　\(\displaystyle I_1\hspace{2pt}\)を求めよ
　(2)　\(\displaystyle I_{n+1} = \left(1-\frac{1}{2n} \right)I_n +\frac{1}{2^{n+1} n}\hspace{2pt}\)を示せ
　(3)　\(\displaystyle I_2 \hspace{1pt}, \hspace{1pt} I_3 \hspace{2pt}\)を求めよ
　

問題20 : 曲線\(\displaystyle \hspace{2pt}y = \log (3\cos x + 4 \sin x)\hspace{3pt}\)の\(\displaystyle\hspace{3pt}0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\hspace{3pt}\)における長さ\(\hspace{1pt}L\hspace{1pt}\)を求めよ.
　

【面積・体積の問題】
問題21 : \(\hspace{1pt}0 \leqq x \leqq 1\hspace{2pt}\)の範囲で曲線\(\hspace{2pt}y = x^n\hspace{2pt}\)\((\hspace{2pt}n=2,3,4, \cdots \hspace{2pt})\hspace{2pt}\)と直線\(\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}\)に囲まれる部分を直線\(\hspace{2pt}y=x\hspace{2pt}\)の周りに回転させた回転体の体積を\(\hspace{2pt}V_n\hspace{2pt}\)とする. このとき, 次の問いに答えよ.
　(1) \(\hspace{2pt}V_n\hspace{2pt}\)を求めよ.
　(2) \(\displaystyle\hspace{2pt}\lim_{n \rightarrow \infty}V_n\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

問題22 : 次の連立不等式の満たす部分の体積を求めよ. $$ \begin{dcases} & 0 \leqq x \leqq 1 \\[0.5em] & x \leqq y \leqq x+1 \\[0.5em] & 0 \leqq z \leqq 1+ xy + \sqrt{x} \\[0.5em] \end{dcases} $$
　

問題23 : 中心軸に垂直な切り口の半径が\(\hspace{1pt}a\hspace{1pt}\)である無限に長い\(\hspace{2pt}3\hspace{2pt}\)本の直円柱をそれぞれ\(\hspace{2pt}A , B , C\hspace{2pt}\)とする.
　\(A\hspace{1pt}\)の中心軸が\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸, \(B\hspace{1pt}\)の中心軸が\(\hspace{2pt}y\hspace{1pt}\)軸, \(C\hspace{1pt}\)の中心軸が\(\hspace{2pt}z\hspace{1pt}\)軸であるとする.
　(1) \(A , B\hspace{2pt}\)の共通部分の体積を求めよ.
　(2) \(A , B, C\hspace{2pt}\)の共通部分の体積を求めよ.
　

問題24 : \(xyz\hspace{1pt}\)空間において点\(\hspace{1pt}P(0,1,1)\hspace{1pt}\)と点\(\hspace{2pt}Q(1,0,-1)\hspace{2pt}\)を通る直線を\(\hspace{2pt}l\hspace{2pt}\)とする. 直線\(\hspace{1pt}l\hspace{1pt}\)を\(\hspace{2pt}z\hspace{1pt}\)軸を中心に回転させてできる曲面と平面\(\hspace{2pt}z=1 , z=-1\hspace{2pt}\)に囲まれてできる立体の体積を求めよ.
　

問題25 : \(xy\hspace{1pt}\)平面において点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(1 , 0)\hspace{2pt}\)が中心, 半径が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である円上に点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)をとる. 点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を接点とする接線\(\hspace{1pt}l\hspace{1pt}\)に原点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)から下した垂線の足を点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)とする. 点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)が円周上を動くとき, 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の描く曲線を\(\hspace{1pt}C\hspace{2pt}\)とする.
　
　(1) 線分\(\hspace{1pt}OP\hspace{1pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸のなす角度を\(\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(0 \leqq \theta < 2 \pi)\hspace{2pt}\)とするとき, 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標\(\hspace{2pt}(x,y)\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}\)で表せ.
　(2) 曲線\(\hspace{1pt}C\hspace{2pt}\)の概形を描け.
　(3) 曲線\(\hspace{1pt}C\hspace{2pt}\)によって囲まれる面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)を求めよ.
　(4) 曲線\(\hspace{1pt}C\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の周りに回転させた回転体の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{2pt}\)を求めよ.
　(5) 曲線\(\hspace{1pt}C\hspace{2pt}\)の長さ\(\hspace{1pt}L\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

問題26 : \(xyz\hspace{1pt}\)空間において\(\hspace{2pt}4\hspace{1pt}\)個の点\(\hspace{1pt}(0,1 ,1)\hspace{1pt},\hspace{1pt} (0,1 ,2) \hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt} (0,2 ,1)\hspace{1pt},\hspace{1pt} (0,2 ,2)\hspace{2pt}\)を頂点に持つ正方形を\(\hspace{2pt}y\hspace{1pt}\)軸の周りに回転させてできる立体を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)とする. 立体\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸の周りに回転させたときの立体を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とするとき, 立体\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)を求めよ.
　

問題27 : \(\hspace{2pt}0\hspace{1pt}\)以上の整数\(\hspace{2pt}m,n\hspace{2pt}\)に対して $${B(m,n) = \int_0^1 x^m (1-x)^n \hspace{1pt} dx}$$ 　と定義する.
　
　また \(a,b\hspace{1pt}\)が自然数である曲線\(\displaystyle \hspace{2pt}x^{1/a}+y^{1/b} = 1\hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(x \geqq 0 , y \geqq 0)\hspace{1pt}\)と\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸, \(y\hspace{1pt}\)軸に囲まれた領域を\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)とする.
　
　(1) \(B(m,0)\hspace{2pt}\)を求めよ.
　(2) \(n \geqq 1\hspace{1pt}\)であるとき, 以下の等式が成り立つことを示せ. $$B(m,n) = \frac{n}{m+1} B(m+1 , n-1)$$ 　(3) \(B(m,n)\hspace{2pt}\)を求めよ.
　(4) 領域\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)を求めよ.
　(5) 領域\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)軸の周りに回転させた回転体の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)を求めよ.
　

問題28 : 曲線\(\displaystyle\hspace{2pt}y = x^2-x\hspace{2pt}\)と直線\(\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}\)に囲まれる部分を\(\hspace{2pt}A\hspace{2pt}\)とする. \(A\hspace{1pt}\)を底面とし, 直線\(\hspace{2pt}y= x\hspace{2pt}\)に垂直な平面で切った断面が常に正三角形となる立体を\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)とする. 立体\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)の体積\(\hspace{2pt}V\hspace{2pt}\)を求めよ.

・『積分ランダム問題集』を公開(2024/12/27)

・難易度★★に3問、難易度★★★に3問を追加(2025/1/3)

・難易度★に8問(積分方程式・面積を求める問題)を追加(2025/1/7)

・難易度★★に2問(面積を求める問題)、
　難易度★★★★★に1問(面積を求める問題)を追加(2025/1/12)

・難易度★★に1問(部分分数分解)、
　難易度★★★★に2問(特別な置き換えをする積分)を追加(2025/1/14)

・【積分計算】と【面積・体積】を分けて出題できるシステムに変更(2025/1/24)

・難易度★★★に3問(部分積分の問題、円の面積の積分)を追加(2025/3/8)

・数学Ⅱに3問(面積の問題)を追加(2025/4/4)

・全体の仕様を大幅に変更、問題16問を追加(2025/7/22)
　　難易度を★～★★★の三段階に変更
　　変更に伴い、問題に付けられていた難易度を調整
　　新たに『問題の種類を絞る』ボタンを設置
　　問題集に表示される広告を廃止

・難易度★★★★を追加、問題40問を追加(2025/12/25)
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