積分ランダム問題集

【数学Ⅱ : 難易度★】
　高校数学Ⅱの範囲における基本的な積分を出題します。
　積分の基本を理解できているかのチェックをしたい人向けです。

【数学Ⅲ : 難易度★★】
　高校数学Ⅲの教科書で例題となるレベルの積分を出題します。
　数学Ⅲの積分公式が理解できているかチェックしたい人向けです。

【数学Ⅲ(応用レベル) : 難易度★★★以上】
　高校数学Ⅲの範囲で比較的難易度の高い問題です。
　大学入試レベルの積分計算のトレーニングがしたい人向けです。

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int (5x^4 -7x +1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int (4t^3 -6 t^2 +8t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int (2x-1)(3x+2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int (x-t)(2x+t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int (x-at)(x+bt) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int_1^2 (3x+2)(x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int_2^4 (2x-4)(x-4) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (x^2-2x-2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (x^2-2x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int_{-1}^{1} (3x^2+x)dx - \int_{3}^{1} (3x^2+x)dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} |x-1|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int_{0}^{4} |x^2-2x-3|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int_{0}^{3} |x^2-4|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} x |x -1|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題15 : \(\displaystyle{\int_{0}^{1} |x^2-ax| dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(a>0)}\)

問題16 : \(\displaystyle{\int_{0}^{2} |x^2-a^2| dx \hspace{2pt}}\) \({\hspace{2pt}(a>0)}\)

次の式を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)を求めよ
問題17 : \(\displaystyle{f(x) = 3x^2 + 2 \int_0^2 f(t) dt\hspace{2pt}}\)

次の式を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)と定数\({\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)を求めよ
問題18 : \(\displaystyle{\int_a^{x}f(x)\hspace{1pt} dx = 3x^2+4x-4\hspace{2pt}}\)

【面積の問題】
　次の曲線・直線に囲まれた面積を求めよ

問題19 : \({y=x^2-2x-8\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}x}\)軸

問題20 : \({y=3x^2-5x+3\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=4x-3\hspace{2pt}}\)

問題21 : \({y=2x^2-5x-5,\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=-2x^2+3x+7}\)

問題22 : \({y=-2x^2+2,\hspace{2pt}}\)\({\hspace{2pt}y=x^2+6x + 5\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({\hspace{1pt}x=2}\)

問題23 : 放物線\({\hspace{1pt}C}\)\({(y=2x^2-3x+5)\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)放物線\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)上の点\({(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}10\hspace{1pt})}\)における接線\({\hspace{2pt},\hspace{2pt}x=2}\)

問題24 : 放物線\({\hspace{1pt}C}\)\({(y=2x^2-4x+5)\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)放物線\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)上の点\({(\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}11\hspace{1pt})}\) , \({(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}5\hspace{1pt})}\)における2本の接線

　次の曲線・直線に囲まれた面積の最小値を求めよ

問題25 : \({y=x^2+2x-3\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\({y=mx +2}\) \({(m \neq 0)}\)

問題26 : 放物線\({\hspace{1pt}C}\)\({(y=x^2)\hspace{1pt},\hspace{2pt}y=2x-3}\) 上を動く点から\({\hspace{1pt}C\hspace{2pt}}\)に引いた\({2}\)本の接線

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{x \sqrt{x}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{\int \frac{x^3+4x-1}{x^2} dx\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{x+2} -\sqrt{x}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int_1^2 \frac{x^4 +x }{\sqrt{x} } \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int \sin(3x+2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int \cos(6x+1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int 2^{-4x+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int \frac{\cos^2 x -x}{x(1-\sin^2 x)} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int x\sqrt{x+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int \frac{6x-1}{\sqrt{2x+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題15 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題16 : \(\displaystyle{\int \frac{3x^2 -2x}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題17 : \(\displaystyle{\int \tan x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題18 : \(\displaystyle{\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題19 : \(\displaystyle{\int \sin x \cos^5 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題20 : \(\displaystyle{\int \cos \sqrt{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題21 : \(\displaystyle{\int x e^{x^2 +1}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題22 : \(\displaystyle{\int (x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題23 : \(\displaystyle{\int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題24 : \(\displaystyle{\int_1^e x \log x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題25 : \(\displaystyle{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題26 : \(\displaystyle{\int x e^{2x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題27 : \(\displaystyle{\int x \sin (2x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題28 : \(\displaystyle{\int \sin^2 3x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題29 : \(\displaystyle{\int \cos^2 5x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題30 : \(\displaystyle{\int \sin 3x \cos 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題31 : \(\displaystyle{\int_0^{\pi} |\sin x - \sqrt{3}\cos x|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題32 : \(\displaystyle{\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題33 : \(\displaystyle{\int_0^2 \frac{1}{x^2+4} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題34 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{x^2-1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題35 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{(x-1)^2(x+1)} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

【面積の問題】
　次の曲線・直線に囲まれた面積を求めよ

問題36 : \({xy=4\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({x+y=5}\)

問題37 : \({y=\sin x\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=\sin 2x\hspace{4pt}}\)\({(0 \leqq x \leqq \pi)}\)

問題38 : \({2x^2 -2xy + y^2=3}\)

問題39 : \({\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\hspace{2pt},\hspace{2pt}}\)\({x}\)軸\({\hspace{1pt},\hspace{2pt}y}\)軸

問題40 : \({x=a \cos \theta\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=b \sin \theta\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})}\)

問題41 : \({x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{2pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})\hspace{3pt},\hspace{1pt}x}\)軸

【体積の問題】
　次の体積を求めよ

問題42 : \(\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\)を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体

問題43 : \(\displaystyle{(x-a)^2+y^2=r^2\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}0 < r < a\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\) を\({\hspace{1pt}y}\)軸の周りに回転させた回転体

問題44 : \({y=\sin x\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}\)\({\left(\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5}{4}\pi\hspace{1pt}\right)}\) に囲まれた部分を\({\hspace{1pt}x}\)軸の周りに回転させた回転体

・難易度★★★

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題1 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\tan x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題2 : \(\displaystyle{\int \frac{\sin(\log x)}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題3 : \(\displaystyle{\int \log(2x+1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題4 : \(\displaystyle{ \int x^2 \cos 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題5 : \(\displaystyle{ \int x^2 \sin 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題6 : \(\displaystyle{\int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題7 : \(\displaystyle{\int x \tan^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題8 : \(\displaystyle{\int \sin^3 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題9 : \(\displaystyle{\int \cos^3 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題10 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sin x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題11 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\cos x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題12 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題13 : \(\displaystyle{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題14 : \(\displaystyle{\int_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \cos x \log( \sin x)\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題15 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題16 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\sin x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題17 : \(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x }\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題18 : \(\displaystyle{\int \tan^4 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題19 : \(\displaystyle{\int_0^{1} \frac{1}{x^2+x+1}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題20 : \(\displaystyle{\int_0^\frac{3}{2} \frac{1}{(3-x^2)^{\frac{3}{2}}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題21 : \(\displaystyle{\int_{\log \sqrt{3}}^{\log 3} \frac{e^x}{e^{2x}+3} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題22 : \(\displaystyle{\int_0^\pi |3 \sin x + \cos x| \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

・難易度★★★★

【積分計算の問題】
　以下の不定積分・定積分を求めよ

問題23 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{1+\sin x + \cos x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題24 : \(\displaystyle{\int \frac{5}{3 \sin x + 4 \cos x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題25 : \(\displaystyle{\int_0^1 \frac{1}{x^3+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題26 : \(\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

問題27 : \(\displaystyle{\int \sqrt{x^2+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)

・難易度★★★★★

【面積の問題】
　以下の曲線・直線に囲まれた面積を求めよ

問題28 : 曲線\({\hspace{2pt}y=e^{-x}\sin x\hspace{2pt}}\) \({(\hspace{1pt}x \geqq 0\hspace{1pt})}\) \({,}\) \({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)軸