円環体の体積を積分から求める問題

【答え】
　\(\displaystyle 2\pi^2 r^2 a \)
　

【解答のポイント】
本問は\({\hspace{1pt}y\hspace{1pt}}\)軸の周りに回転させるという点に注意が必要です。

\({\hspace{1pt}y\hspace{1pt}}\)軸の周りに回転させる場合は \({\hspace{1pt}x=f(y)\hspace{2pt},\hspace{1pt}x=g(y)\hspace{2pt}}\)が区間\({\hspace{1pt}[a,b]\hspace{2pt}}\)において\({\hspace{1pt}f(y) \geqq g(y) \geqq 0 \hspace{2pt}}\)であるとき、

と求められます。
　

【解答】
　問題 : 『 \(\displaystyle{(x-a)^2+y^2=r^2\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}0 < r < a\hspace{2pt}\hspace{1pt})}\) に囲まれた部分を\({\hspace{1pt}y\hspace{1pt}}\)軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ』
　

問題の円を図に描くと以下のようになります。

問題の円の方程式\({\hspace{1pt}(x-a)^2+y^2=r^2\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}x=\cdots\hspace{2pt}}\)の式に変形すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}(x-a)^2 &= r^2 - y^2 \\[0.5em] x-a &= \pm \sqrt{r^2 - y^2} \\[0.5em] x &= a \pm \sqrt{r^2 - y^2} \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

したがって、上図の円を\({\hspace{1pt}y\hspace{1pt}}\)軸の周りに回転させた回転体の体積は以下のように求められます。

と求められます。

(上記の計算過程には\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - y^2} \hspace{2pt}}\)は半径\({\hspace{1pt}r\hspace{2pt}}\)の円の面積の4分の1を表すことから $${\int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - y^2} = \frac{1}{4}\pi r^2}$$ であることを使用しています。)
　

【関連するページ】
・円の面積を求める積分