◆第問目！
置換積分法から\({\hspace{2pt}t=\sqrt{2x+1}\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します
【答え】
\(\displaystyle (2x -3)\sqrt{2x+1} +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
置換積分法から変数を置き換えて積分します。
\(\displaystyle{\int \frac{6x-1}{\sqrt{2x+1}}\hspace{1pt} dx}\) のように、ルートの内側が \({x}\) の1次式である場合は、\({t=\sqrt{2x+1}}\) と根号を含めて置換して積分できます。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{6x-1}{\sqrt{2x+1}} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
\({t = \sqrt{2x+1}}\) とおくと、\({t^2=2x+1}\) から \(\displaystyle{x=\frac{1}{2}(t^2 -1)}\) となります。
\(\displaystyle{x=\frac{1}{2}(t^2 -1)}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = t}$$ となります。すなわち、\({dx = t dt\hspace{2pt}}\)と表されます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法