累乗の関数の不定積分

【答え】
　　\(\displaystyle \frac{1}{20} (x^2 +2x + 3)^{10} +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=x^2 +2x + 3\hspace{2pt}}\)とすると\({\hspace{3pt}f'(x)=2 (x+1) \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}(f(x))^a\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (x+1)(x^2+2x+3)^9 \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({t=x^2 +2x + 3}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 2 x+2}$$ となります。すなわち、\({dt = 2 (x+1) \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法