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サイクロイドの面積

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★ 】
　\({x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})}\) と\({\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)軸に囲まれる面積を求めよ

本問は媒介変数表示されたサイクロイドの面積を求める問題です。

まずは\({\hspace{2pt}x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)で微分して増減表を作り、グラフを描きます。

【答え】
　\(\displaystyle 3 \pi a^2 \)
　

【解答のポイント】
本問はサイクロイドの面積を求める問題です。

まずは\({\hspace{2pt}x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)で微分して増減表を作り、グラフを描きます。

グラフから\(\displaystyle\hspace{1pt}\int y \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)の式を作り、\(y\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}dx\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}\)で表して計算します。
　

【解答】
　問題 : 『 \({x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt},}\)\({\hspace{3pt}y=a(1- \cos \theta)\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})}\) と\({\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}\)軸に囲まれる面積を求めよ』
　

まず、与えられた関数から増減表を作ります。

\({x=a (\theta-\sin \theta)\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}\theta\hspace{2pt}}\)に関して微分すると $${\frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos \theta)}$$ となります。

また、\({y=a (1-\cos \theta)\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}\theta\hspace{2pt}}\)に関して微分すると $${\frac{dy}{d\theta}=a\sin \theta}$$ となります。

与えられた関数の増減表を書くと、以下のようになります。 媒介変数表示された関数の増減表

上記の増減表から、\(\theta\hspace{2pt}\)の範囲\(\hspace{2pt}0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{2pt}\)において、\(x\hspace{1pt}\)は単調に増加し、\(y\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}\theta = \pi\hspace{2pt}\)(\(\hspace{2pt}x=a \pi\hspace{2pt}\))で極大値となることから、グラフの概形は以下のようになります。 サイクロイドの概形

ここで、上図から面積を求めるときの積分区間は\({\hspace{1pt}[0,2a\pi]\hspace{2pt}}\)となりますが、\({x= a (\theta-\sin \theta) \hspace{2pt}}\)から変数\({x}\) の範囲に対応する 変数\({\theta}\) の範囲を求めると、以下のようになります。

\({x}\) \({0 \to 2a \pi}\)
\({\theta}\) \(\displaystyle{0 \to 2\pi}\)

以上から、面積は以下のように求められます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{2 \pi a} y \hspace{1pt}dx \\[1em] & = \int_{0}^{2 \pi} a(1-\cos \theta)\cdot a(1-\cos \theta)\hspace{1pt}d\theta\\[1em] &= a^2 \int_{0}^{2 \pi} (1- 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) \hspace{1pt}d\theta\\[1em] &= a^2 \int_{0}^{2 \pi} \left(1- 2 \cos \theta + \frac{1+\cos 2 \theta}{2} \right) \hspace{1pt}d\theta\hspace{10pt}\\[1em] &= a^2 \int_{0}^{2 \pi} \left(\frac{3}{2}- 2 \cos \theta + \frac{1}{2}\cos 2 \theta \right) \hspace{1pt}d\theta\\[1em] & = a^2\left[\frac{3}{2}\theta- 2 \sin \theta + \frac{1}{4}\sin 2 \theta \right]_{0}^{2\pi} \\[1em] & = 3 \pi a^2 \\[1em] \end{aligned} $$

と求められます。

(上記の計算過程には半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}}$$を使用しています。)

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