◆第問目！
半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ を使用することで根号を外すことができます
【答え】
\(\displaystyle 4\sqrt{2} \)
【解答のポイント】
\({\hspace{1pt}\sqrt{1 \pm \cos x}\hspace{2pt}}\)の積分は半角の公式
$$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$
$$\displaystyle{\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}}$$
を用いて根号を外すことができます。
根号を外すときは、根号の中身に絶対値記号を付けることを忘れないようにします。
【解答】
問題 :『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos x }\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
半角の公式を用いて被積分関数を変形すると
ここで、上記の積分は絶対値記号を含むため、積分範囲で場合分けをすることで絶対値記号を外します。
\({0 \leqq x \leqq \pi \hspace{2pt}}\)のとき \(\displaystyle{0 \leqq \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2} \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{3pt}\cos \frac{x}{2} \geqq 0\hspace{2pt}}\)となります。すなわち $${\left|\cos \frac{x}{2} \right| = \cos \frac{x}{2}}$$ となります。
また、\({\pi < x \leqq 2\pi \hspace{2pt}}\)のとき \(\displaystyle{\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} \leqq \pi \hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{3pt}\cos \frac{x}{2} < 0\hspace{2pt}}\)となります。すなわち $${\left|\cos \frac{x}{2} \right| = -\cos \frac{x}{2}}$$ となります。
よって、絶対値記号を外して計算すると
【関連するページ】
・半角の公式