◆第問目!
分母を \({f(x)=x^3 - x^2 + 1}\) としたとき、分子が \({f'(x)=3x^2 -2x}\) の関係になっています
【答え】
\(\displaystyle \log |x^3 - x^2+1| +C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$
と計算することができます。
本問は、\({f(x)=x^3 - x^2 + 1\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)=3x^2 -2 x\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{3x^2 -2x}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$
が成り立つことから
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{3x^2 -2x}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= \int \frac{(x^3 - x^2 + 1)'}{x^3 - x^2 + 1} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= \log |x^3 - x^2+1| +C\\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
【別解】
上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。
\({t = x^3 - x^2+1}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 3x^2-2 x}$$ となります。すなわち、\({dt = (3x^2-2 x)\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法