◆第問目！
指数関数の積分公式 $${\int a^x \hspace{1pt}dx = \frac{a^x}{\log a} + C}$$ から計算します。
【答え】
\(\displaystyle -\frac{2^{-4x+3}}{4 \log 2} +C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
本問は指数関数の積分公式
$${\int a^x \hspace{1pt}dx = \frac{a^x}{\log a} + C}$$
から計算します。
また、\({F'(x)=f(x),a \neq 0}\)のときの積分公式
$${\int f(ax+b)\hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C}$$
を使用します。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int 2^{-4x+3} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の積分を計算すると
となります。
【別解】
置換積分法を使用する場合は、以下のようになります。
\({t=-4x+3}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = -4}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = -\frac{1}{4}\hspace{1pt} dt}\) と表せます。
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int 2^{-4x+3} \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= -\frac{1}{4}\int 2^t \hspace{1pt}dt \\[1em]
&= -\frac{1}{4} \frac{2^t}{\log 2} +C\\[1em]
&= -\frac{2^{-4x+3}}{4 \log 2} +C\\[0.5em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・指数関数の積分公式