sin(logx)の不定積分

【答え】
　\(\displaystyle \frac{x}{2}(\sin (\log x) - \cos (\log x)) +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
\({t=\log x}\) とおいて両辺を \({x}\) で微分すると\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\hspace{1pt}\)となり、\(x\hspace{1pt}\)が余分に現れます。

このとき、\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)を変数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で表すことで積分できるように変形します。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \sin (\log x) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({t=\log x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、対数関数の微分から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}$$ となります。

ここで、\(\hspace{1pt}x= e^t\hspace{1pt}\)であることから、\(\displaystyle{dx = e^t \hspace{1pt} dt}\) と表せます。

変数を置き換えて変形すると、以下のようになります。

ここで、\(\displaystyle{I= \int e^t \sin t \hspace{1pt}dt}\) とおき、部分積分を用いることで計算します。

部分積分から

ここで、\({ \int e^t \cos t \hspace{1pt}dt\hspace{1pt}\hspace{2pt}}\)を部分積分から計算すると

となります。

よって、 $${I = e^t \sin t - (e^t \cos t + I)}$$ となることから $${I = \frac{1}{2}e^t(\sin t - \cos t)}$$ と求められます。

したがって、問題の不定積分は以下のように求められます。