分数関数の不定積分

【答え】
　　\(\displaystyle \frac{1}{2}x^{2} + 4 \log|x| + \frac{1}{x}+C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
被積分関数が (分子の次数) ≧ (分母の次数) の関係となっているため、分母の\({\hspace{1pt}x^2\hspace{2pt}}\)で分子を割り、和の式に直して積分します。

不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

また、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)の不定積分は、以下の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int \frac{1}{x} dx= \log |x| + C}$$
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{x^3+4x-1}{x^2} dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

問題の積分を計算すると以下のようになります。

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