◆第問目！
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。 $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em] & = F(b)-F(a)\\[1em] \end{aligned} $$
絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$
【答え】
\(\displaystyle \frac{34}{3} \)
【解答のポイント】
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em]
& = F(b)-F(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。
$$|x|
=
\begin{dcases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{dcases}
$$
【解答】
問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{0}^{4} |x^2-2x-3|\hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の被積分関数を因数分解すると $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{0}^{4} |x^2-2x-3|\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_{0}^{4} |(x+1)(x-3)|\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$
\({0 \leqq x \leqq 3\hspace{1pt}}\)のとき $${\hspace{1pt}(x+1)(x-3) \leqq 0 }$$
\({3 \leqq x \leqq 4\hspace{1pt}}\)のとき $${\hspace{1pt}(x+1)(x-3) \geqq 0 }$$
であることから
【関連するページ】
・定積分