◆第問目！
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\hspace{2pt}}\)は分母を \({f(x)}\) としたとき、分子が \({f'(x)}\) の関係になっています
【答え】
\(\displaystyle \log |e^x + e^{-x}| +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$
と計算することができます。
本問は、\({f(x)=e^x + e^{-x}\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)=e^x - e^{-x}\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$
が成り立つことから
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= \int \frac{(e^x + e^{-x})'}{e^x + e^{-x}} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= \log |e^x + e^{-x}| +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
【別解】
上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。
\({t = e^x + e^{-x}}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} =e^x - e^{-x}}$$ となります。すなわち、\({dt = (e^x - e^{-x})\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法