絶対値を含む定積分

【答え】
　 \({0 < a < 2\hspace{2pt}}\)のとき
　　 \({\displaystyle \frac{4}{3}a^3 -2a^2 + \frac{8}{3}}\)

　 \({a \geqq 2\hspace{2pt}}\)のとき
　　 \({\displaystyle 2a^2-\frac{8}{3}}\)
　

【解答のポイント】
絶対値記号を含む場合、絶対値記号を外して積分する必要があります。

絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$

本問は、まず\({\hspace{1pt}y=x^2-a^2\hspace{2pt}}\)を因数分解し、グラフを描くことで符号が変化するイメージがしやすくなります。
　

【解答】
　問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{0}^{2} |x^2-a^2|\hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ(ただし、\({a > 0\hspace{2pt}}\)とする)』

まず、被積分関数\({\hspace{1pt}y=x^2-a^2\hspace{2pt}}\)を因数分解すると
$${y=(x+a)(x-a)}$$ となります。

つまり、関数\({\hspace{1pt}y=x^2-a^2\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)軸と\({\hspace{1pt}x=\pm a\hspace{2pt}}\)で交点を持ちます。

ここで、積分区間が\({\hspace{1pt}[0,2]\hspace{2pt}}\)であることから、積分区間に\({\hspace{1pt}x=a\hspace{2pt}}\)が含まれる \({0 < a < 2\hspace{2pt}}\)のときと、積分区間の外側に\({\hspace{1pt}x=a\hspace{2pt}}\)が位置する \({ a \geqq 2\hspace{2pt}}\)のときで場合分けが必要となります。

上記のグラフから、積分区間\({\hspace{1pt}[0,2]\hspace{2pt}}\)における\({\hspace{1pt}y=x^2-a^2\hspace{2pt}}\)の符号を調べ、絶対値記号を外します。

【\({0 < a < 2\hspace{2pt}}\)の場合】
　\({0 \leqq x \leqq a\hspace{1pt}}\)のとき $${|x^2-a^2|=-(x^2-a^2)}$$ 　 \({a \leqq x \leqq 2\hspace{1pt}}\)のとき $${|x^2-a^2|=x^2-a^2}$$
であることから

【\({a \geqq 2\hspace{2pt}}\)の場合】
　 \({0 \leqq x \leqq 2\hspace{1pt}}\)のとき $${|x^2-a^2|=-(x^2-a^2)}$$ であることから

以上から
\({0 < a < 2\hspace{2pt}}\)のとき $${ \frac{4}{3}a^3 -2a^2 + \frac{8}{3}}$$ \({a \geqq 2\hspace{2pt}}\)のとき $$ {2a^2-\frac{8}{3}}$$
　

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