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文字を含むtの多項式の不定積分

◆第問目！

【 数Ⅱ : 難易度 ★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$ \large {\int (x-at)(x+bt) \hspace{1pt}dt }$$

問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

積分の変数が\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)である点に注意して計算します。

【答え】
\(\displaystyle - \frac{ab}{3}t^{3} + \frac{(b-a) x }{2}t^{2} +x^2 t +C \)
　(\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

積分の変数が\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)であるため、\({x,a,b\hspace{2pt}}\)を定数として積分します。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (x-at)(x+bt) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}\)を求めよ』

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int (x-at)(x+bt)\hspace{1pt}dt\\[1em] & = \int (- ab t^2 +(b -a)xt+x^2 ) \hspace{1pt}dt\\[1em] &= -ab \int t^2 \hspace{1pt}dt +(b-a)x \int t \hspace{1pt}dt +x^2 \int 1 \hspace{1pt}dt \hspace{10pt}\\[1em] & = -ab \cdot \frac{1}{3}t^{3} +(b-a) x \cdot \frac{1}{2}t^{2} +x^2 t +C \\[1.0em] & = - \frac{ab}{3}t^{3} + \frac{(b-a) x }{2}t^{2} +x^2 t +C \\[1.0em] \end{aligned} $$

となります。(\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

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