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(logx)^2の不定積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\large\int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx}$$

部分積分を2回繰り返すことで積分します

【答え】
　\(\displaystyle x (\log x)^2 - 2x \log x +2x +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

本問では、まず\({f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= (\log x)^2}\) とおいて計算します。

その結果、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \log x dx\hspace{2pt}}\)の項が現れるため、再び部分積分をして計算します。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({f'(x)=1,\hspace{1pt}g(x)=(\log x)^2}\) として部分積分から積分します。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \left(x \right)' (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= x (\log x)^2 - \int x \cdot 2(\log x)\cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= x (\log x)^2 - 2 \int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

ここで、\({\displaystyle\int \log x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}f'(x)=1,\hspace{1pt}g(x)= \log x}\) として部分積分から積分します。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \log x \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int \left( x \right)' \log x \hspace{1pt}dx\\[1em] &= x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= x \log x - \int 1 \hspace{1pt}dx\\[1em] &= x \log x - x +C\\[1em] \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int (\log x)^2 \hspace{1pt}dx \\[1em] &= x (\log x)^2 - 2 \int \log x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em] &= x (\log x)^2 - 2x \log x +2x +C\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

　

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・部分積分

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