sinxcos^5xの不定積分

【答え】
　　\(\displaystyle -\frac{1}{6} \cos^6 x +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\cos x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\hspace{1pt}f'(x)=-\sin x\hspace{2pt}}\)であることから、\(\displaystyle{\int f'(x)\hspace{1pt}(f(x))^a\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

このような積分は、置換積分法が有効です。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \sin x \cos^5 x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({t=\cos x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = -\sin x}$$ となります。すなわち、\({dt = - \sin x \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法