◆第問目！
本問の被積分関数は\(\displaystyle{\hspace{2pt}x^2+a^2\hspace{2pt}}\)を含む関数であることから、\({x= a\tan \theta\hspace{2pt}}\)による置き換えを利用して積分します。
【答え】
\(\displaystyle 1- \frac{\pi}{4} \)
【解答のポイント】
本問は、よく知られている置換積分の問題\(\displaystyle\hspace{1pt} \int \frac{1}{x^2+a^2}dx\hspace{2pt}\)の類題です。
被積分関数に\(\displaystyle{\hspace{1pt}(x^2+a^2)\hspace{2pt}}\)を含む積分は\({\hspace{1pt}x=a \tan \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
【解答】
問題 :『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
\({x= \tan \theta}\) とおきます。
変数\({x}\) の範囲に対応する変数\({\theta}\) を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \({0 \to 1}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{4}}\) |
\({x= \tan \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} }$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
積分を計算すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法