無理関数の不定積分

【答え】
　　\(\displaystyle \frac{5}{3} \sqrt[5]{x^3} +C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の無理関数は指数法則
$${\frac{1}{x^n}= x^{-n}}$$ $${\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}}$$ などから変形して不定積分の公式に当てはめます。

不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}\hspace{2pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

指数法則から $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}} & = \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}}}\\[0.7em] & = x^{-\frac{2}{5}}\\[0.5em] \end{aligned} $$ と変形されます。

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} & \int \frac{1}{\sqrt[5]{x^2}}\hspace{1pt}dx\\[0.7em] & = \int x^{-\frac{2}{5}}\hspace{1pt}dx\\[0.7em] & = \frac{1}{-\frac{2}{5}+1}x^{-\frac{2}{5}+1} +C\\[0.7em] & = \frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} +C \\[0.7em] & = \frac{5}{3} \sqrt[5]{x^3} +C \\ \end{aligned} $$
　

【関連するページ】
・不定積分

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