◆第問目！
問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
【答え】
\(\displaystyle 2 x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} -2 x +C \hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
また、本問は被積分関数が\(\hspace{1pt}f(x) = (2x-1)(3x+2)\hspace{1pt}\)と積の式になっています。
まずは、被積分関数を展開して和の式に変形して積分します。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (2x-1)(3x+2) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
& \int (2x-1)(3x+2)\hspace{1pt}dx\\[1em]
& = \int ( 6x^2 +x -2) \hspace{1pt}dx\\[1em]
& = 6\int x^2 \hspace{1pt}dx + \int x \hspace{1pt}dx -2 \int 1 \hspace{1pt}dx \\[1em]
& = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} -2 x +C \\[1.0em]
& = 2 x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} -2 x +C \\[1.0em]
\end{aligned}
$$
となります。(\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【関連するページ】
・不定積分