直線と放物線に囲まれた面積

【答え】
　\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
面積を求める問題は、まずグラフを描いて関数の上下関係を調べてから積分します。

また、放物線 (\({y=ax^2+bx+c}\)) と直線 (\({y=px+q}\)) の交点を\({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) (\({\alpha < \beta\hspace{1pt}}\)) とするときに成り立つ1/6公式

を利用すると簡単に計算することができます。(別解に記載)
　

【解答】
　問題 : 『放物線\({\hspace{2pt}y=3x^2-5x+3\hspace{2pt}}\)と直線\({\hspace{2pt}y=4x-3\hspace{2pt}}\)に囲まれた面積\({S\hspace{2pt}}\)を求めよ』

まず、放物線 \({y=3x^2-5x+3}\) と \({y=4x-3}\) の交点を求めます。

つまり、交点は \({x=1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2}\) となります。

放物線 \({y=3x^2-5x+3}\) と直線 \({y=4x-3}\) に囲まれた面積を図示すると、以下のようになります。

上図から、\({1 \leqq x \leqq 2\hspace{2pt}}\)において放物線 \({y=3x^2-5x+3}\) は直線 \({y=4x-3}\) の下側に位置するため、面積\({\hspace{1pt}S\hspace{2pt}}\)は以下のように求められます。

【別解】
放物線 (\({y=ax^2+bx+c}\)) と直線 (\({y=px+q}\)) の交点を\({x=\alpha,\hspace{2pt}\beta\hspace{3pt}}\) (\({\alpha < \beta\hspace{1pt}}\)) とするときに成り立つ1/6公式

から求めます。

求める面積\({\hspace{1pt}S}\) は、二次関数の二次の係数が \({a=3}\)、交点が \({x=1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2}\) であることから $$ \begin{aligned} S &= \frac{|3|}{6}(2-1)^3 \\[1em] & = \frac{1}{2}\\[1em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【関連するページ】
・定積分

・1/6公式