◆第問目！
問題の被積分関数は、根号の中に\({\hspace{1pt}a^2-x^2\hspace{2pt}}\)が含まれた式となっています。
ここで、よく知られている\(\displaystyle{\hspace{2pt} \int \sqrt{a^2-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \sin \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
この積分から類推して変数を置き換えて積分します
【答え】
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)
【解答のポイント】
問題の被積分関数は、根号の中に\({\hspace{1pt}a^2-x^2\hspace{2pt}}\)が含まれた式となっています。
ここで、よく知られている\(\displaystyle{\hspace{2pt} \int \sqrt{a^2-x^2} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)の形式の積分は\({\hspace{1pt}x=a \sin \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
この積分から類推して変数を\({\hspace{1pt}x= \sqrt{3}\sin \theta\hspace{2pt}}\)と置き換えて積分します。
【解答】
問題 :『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^\frac{3}{2} \frac{1}{(3-x^2)^{\frac{3}{2}}} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
\({x= \sqrt{3} \sin \theta}\) とおきます。
変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の範囲に対応する変数\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めると、以下のようになります。
| \({x}\) | \(\displaystyle{0 \to \frac{3}{2}}\) |
|---|---|
| \({\theta}\) | \(\displaystyle{0 \to \frac{\pi}{3}}\) |
\({x= \sqrt{3} \sin \theta}\) の両辺を \({\theta}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dx}{d\theta} = \sqrt{3}\cos \theta}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \sqrt{3} \cos \theta \hspace{1pt} d\theta}\) と表せます。
変数を置き換えて積分を計算すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法