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5/(3sinx+4cosx)の定積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★★ 】
　　次の定積分を求めよ $${\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{3 \sin x + 4 \cos x}\hspace{1pt}dx}$$

分母の\(\hspace{2pt}3 \sin x + 4 \cos x\hspace{2pt}\)は、三角関数の合成から $${3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + \alpha)}$$ と変形することができます。

【答え】
　\(\displaystyle \log 6 \)
　

【解答のポイント】
三角関数を含む積分の計算は、三角関数の公式を利用して積分ができる式に変形します。

被積分関数の分母\(\hspace{2pt}3 \sin x + 4 \cos x\hspace{2pt}\)は、三角関数の合成から $${3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + \alpha)}$$ と変形することができます。


　

【解答】
　問題 :『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{3 \sin x + 4 \cos x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

被積分関数の分母\(\hspace{2pt}3 \sin x + 4 \cos x\hspace{2pt}\)は、三角関数の合成から $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& 3 \sin x + 4 \cos x \\[0.7em] & = \sqrt{3^2+4^2}\sin(x + \alpha) \\[0.7em] &= 5\sin(x + \alpha) \\[1em] \end{aligned} $$ と変形することができます。

ここで、\(\alpha\hspace{2pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}\sin \alpha = \frac{4}{5}\hspace{2pt}\)と\(\displaystyle\hspace{2pt}\cos \alpha = \frac{3}{5}\hspace{2pt}\)を満たす\(\displaystyle \hspace{2pt} 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\hspace{2pt}\)の範囲の角度となります。

問題の定積分を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5}{3 \sin x + 4 \cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ 1}{\sin(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{\sin^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{1-\cos^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、置換積分法から\(\hspace{2pt}\cos(x + \alpha) = t\hspace{1pt}\)と置き換えて積分します。

\(\cos(x + \alpha) = t\hspace{1pt}\)の両辺を\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)について微分すると\(\displaystyle\hspace{1pt} \frac{dt}{dx} = -\sin(x + \alpha)\hspace{2pt}\)となることから\(\hspace{2pt}dt = -\sin(x + \alpha) dx\hspace{2pt}\)と表されます。

また、変数\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の範囲に対応する変数\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)の範囲を求めると、以下のようになります。

\({x}\) \({\displaystyle 0 \to \frac{\pi}{2}}\)
\({t}\) \(\displaystyle{\frac{3}{5} \to -\frac{4}{5}}\)

(\(\hspace{2pt}x=0\hspace{2pt}\)のとき、\(\displaystyle t = \cos \alpha = \frac{3}{5}\hspace{1pt}\)となります。また\(\displaystyle \hspace{2pt}x=\frac{\pi}{2}\hspace{2pt}\)のとき、\(\displaystyle t = \cos( \alpha + \frac{\pi}{2}) =- \sin \alpha = -\frac{4}{5}\hspace{1pt}\)となります。)

すなわち

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \sin(x + \alpha)}{1-\cos^2(x + \alpha)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= -\int_{\frac{3}{5}}^{-\frac{4}{5}} \frac{ 1}{1-t^2}\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \int_{-\frac{4}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{ 1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt}dt\\[1em] \end{aligned} $$

ここで、\(\displaystyle{\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} \hspace{2pt}}\)を部分分数分解します。

以下のように分解されるとして、定数\({\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)を求めます。 $${\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} = \frac{A}{1+t} + \frac{B}{1-t}}$$ 両辺に\({\hspace{1pt}(1+t)(1-t)\hspace{2pt}}\)をかけると $${1 = (1-t)A+ (1+t)B}$$ すなわち $${1 = (-A+B)t +A+B}$$ 上式が恒等式となるように左右の係数を比較すると $${-A+B = 0}$$ $${A+B = 1}$$ となることから $${A=\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}B=\frac{1}{2}}$$ となります。したがって

$${\hspace{10pt}\frac{ 1}{(1+t)(1-t)} = \frac{1}{2}\left \{\frac{1}{1+t} +\frac{1}{1-t}\right \}\hspace{10pt}}$$

となります。

問題の積分を求めると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int_{-\frac{4}{5}}^{\frac{3}{5}} \frac{ 1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \frac{1}{2}\int_{-\frac{4}{5}}^{\frac{3}{5}} \left(\frac{1}{1+t} +\frac{1}{1-t}\right )\hspace{1pt}dt\\[1em] &= \frac{1}{2} \left [\log|1+t| - \log|1-t|\right ]_{-\frac{4}{5}}^{\frac{3}{5}}\hspace{10pt}\\[1em] &= \log 6\\[1em] \end{aligned} $$

　

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