◆第問目！
本問の被積分関数には根号が含まれていますが $${x^2 -4x +4 = (x-2)^2}$$ と変形することで根号を外すことができます。
根号を外すときには、絶対値記号を付けることを忘れないようにします。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$
【答え】
\({\displaystyle 10}\)
【解答のポイント】
本問の被積分関数には根号が付けられていますが
$$
\begin{aligned}
& \sqrt{x^2} +\sqrt{x^2-4x+4} \\[1em]
&= \sqrt{x^2} +\sqrt{(x-2)^2} \\[1em]
&= |x| + |x-2| \\[1em]
\end{aligned}
$$
と根号を外すことができます。
根号を外すときは、絶対値記号を付けることを忘れないようにしましょう。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。
$$|x|
=
\begin{dcases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{dcases}
$$
【解答】
問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-1}^{3} (\sqrt{x^2} +\sqrt{x^2-4x+4}) dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
まず、被積分関数を変形すると
となります。
ここで、関数\({\hspace{1pt}f(x)=|x| +|x-2|\hspace{2pt}}\)を積分区間\(\hspace{1pt}[-1,3]\hspace{1pt}\)において場合分けすると
[1] \( -1 \leqq x \leqq 0\hspace{1pt}\)のとき
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt} |x| +|x-2| & = -x -(x-2) \\[1em]
&= -2x+2 \\[1em]
\end{aligned}
$$
[2] \(0 \leqq x \leqq 2\hspace{1pt}\)のとき
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt} |x| +|x-2| & = x -(x-2) \\[1em]
&= 2 \\[1em]
\end{aligned}
$$
[3] \(2 \leqq x \leqq 3\hspace{1pt}\)のとき
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt} |x| +|x-2| & = x +x-2 \\[1em]
&= 2x-2 \\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
したがって、求める定積分は
と求められます。
【関連するページ】
・定積分