◆第問目！
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$
本問は積分区間が三角関数で表されています。
積分区間の\(\hspace{1pt}-\sin \theta\hspace{1pt}\)が負、\(\sin^2 \theta\hspace{1pt}\)が正であることから、積分区間を分割して絶対値記号を外します。
【答え】
\(\displaystyle\theta = \frac{\pi}{4}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{3}{4}\pi\hspace{1pt}\)
【解答のポイント】
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。
$$|x|
=
\begin{dcases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{dcases}
$$
本問は積分区間が三角関数で表されています。
\(0 < \theta < \pi\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} 0 < & \sin^2 \theta \leqq 1 \\[1em] -1 \leqq & -\sin \theta < 0\\[1em] \end{aligned} $$であるため、積分区間を分割して絶対値記号を外します。
【解答】
問題 : 『等式\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{-\sin \theta}^{\sin^2 \theta}|x| dx = \frac{3}{8} \hspace{2pt}\)が成り立つ\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)の値を求めよ。ただし、\(\theta\hspace{2pt}\)は\(\hspace{2pt}0 < \theta < \pi\hspace{2pt}\)とする。』
関数\({\hspace{1pt}f(x)=|x| \hspace{2pt}}\)の絶対値記号を外すため、積分区間によって場合分けします。
\(\hspace{1pt}0 < \theta < \pi\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} 0 < & \sin^2 \theta \leqq 1 \\[1em] -1 \leqq & -\sin \theta < 0\\[1em] \end{aligned} $$ となります。
よって、積分区間\(\hspace{1pt}[-\sin \theta , \sin^2 \theta]\hspace{1pt}\)を以下のように場合分けします。
[1] \( -\sin \theta \leqq x \leqq 0\hspace{1pt}\)のとき
$$ |x| = -x $$
[2] \( 0 \leqq x \leqq \sin^2 \theta \hspace{1pt}\)のとき
$$
|x| = x
$$
したがって、等式の左辺の定積分は
と求められます。
上式が\(\displaystyle\hspace{2pt} \frac{3}{8}\hspace{2pt}\)となるときの\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めると
ここで、\(\sin^2 \theta = t\hspace{2pt}\)とおくと、\(0 < t \leqq 1\hspace{2pt}\)となります。\(\hspace{1pt}(1)\hspace{1pt}\)式を\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)で置き換えると $$ 4t^2+4t-3 = 0$$ となります。\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)について解くと、解の公式から $$ \begin{aligned} t & = \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{4} \\[1em] & = \frac{-2 \pm 4}{4} \\[1em] & = \frac{1}{2} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} -\frac{3}{2}\\[1em] \end{aligned} $$
ここで、\(0 < t \leqq 1\hspace{2pt}\)を満たす解は\(\displaystyle\hspace{2pt}t = \frac{1}{2}\hspace{2pt}\)となります。
\(\sin^2 \theta = t\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} \sin^2 \theta & =\frac{1}{2} \\[1em] \sin \theta & = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\[1em] \end{aligned} $$
ここで、\(0 < \sin \theta \leqq 1\hspace{2pt}\)を満たす解は\(\displaystyle\hspace{2pt}\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{2pt}\)となります。
したがって、\(\displaystyle\hspace{2pt}\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{2pt}\)を満たす解を\(\hspace{2pt}0 < \theta < \pi\hspace{2pt}\)の範囲で解とくと、\(\displaystyle\theta = \frac{\pi}{4}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{3}{4}\pi\hspace{1pt}\)となります。
【関連するページ】
・定積分