三角関数を含む二次関数とx軸に囲まれた部分の面積

【答え】
　(1) 省略

　(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}\theta = \frac{\pi}{6} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \frac{5}{6}\pi\hspace{2pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{4 \sqrt{3}}{3}\hspace{1pt}\)

　(3) \(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{8 \sqrt{3}}{9}\hspace{1pt}\)
　

【解答のポイント】
二次関数\(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さは、二次方程式\(\hspace{2pt}f(x)=0\hspace{2pt}\)の解を\(\hspace{1pt}\alpha , \beta\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(\alpha < \beta)\hspace{1pt}\)としたときに $${\beta - \alpha}$$ から求めることができます。

直線と二次関数に囲まれた部分の面積は1/6公式

を使用すると簡単に計算ができます。

問題(2)の\(\hspace{2pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さ\(\hspace{1pt}\beta - \alpha\hspace{2pt}\)の最小値の値を利用すれば、面積の最小値をすぐに求めることができます。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『関数\(\displaystyle\hspace{1pt} f(x) = \frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1\hspace{2pt}\)について以下の問いに答えよ。ただし、\(0 \leqq \theta < 2 \pi\hspace{2pt}\)とする。
　(1) 全ての\(\hspace{1pt}\theta \hspace{1pt}\)で\(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフは\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの共有点を持つことを示せ』
　

\(\displaystyle\frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1= 0\hspace{2pt}\)の判別式を\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)とすると

となることから全ての\(\hspace{1pt}\theta \hspace{1pt}\)で\(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフは\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの共有点を持ちます。
　

【問題(2)の解答】
　問題 : 『関数\(\displaystyle\hspace{1pt} f(x) = \frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1\hspace{2pt}\)について以下の問いに答えよ。ただし、\(0 \leqq \theta < 2 \pi\hspace{2pt}\)とする。
　(2) \(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さの最小値と、そのときの\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)を求めよ』
　

\(\displaystyle\frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1= 0\hspace{2pt}\)の解を\(\hspace{1pt}\alpha , \beta\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(\alpha < \beta)\hspace{1pt}\)とすると、解の公式から $$ \begin{aligned} \alpha = & \frac{2(-(\sin \theta-2) - \sqrt{D})}{3}\\[0.5em] \beta = & \frac{2(-(\sin \theta-2) + \sqrt{D})}{3}\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

ここで、\(y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さは\(\hspace{1pt}\beta - \alpha\hspace{1pt}\)であることから、\(\beta - \alpha\hspace{1pt}\)を求めると $${\beta - \alpha = \frac{4 \sqrt{D}}{3}}$$ となります。

問題(1)より、\(\displaystyle D = 4\left(\sin \theta -\frac{1}{2} \right)^2+3 \hspace{2pt}\)であることから、\(D\hspace{1pt}\)は\(\displaystyle\hspace{1pt}\sin \theta = \frac{1}{2}\hspace{2pt}\)すなわち\(\displaystyle \hspace{2pt}\theta = \frac{\pi}{6} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \frac{5}{6}\pi\hspace{2pt}\)のとき最小値\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)となります。

よって、\(\displaystyle\beta - \alpha = \frac{4 \sqrt{D}}{3}\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}\beta - \alpha\hspace{2pt}\)の最小値は\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{4 \sqrt{3}}{3}\hspace{2pt}\)となります。

以上から、\(\displaystyle\hspace{1pt}\theta = \frac{\pi}{6} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \frac{5}{6}\pi\hspace{2pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{4 \sqrt{3}}{3}\hspace{1pt}\)となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 : 『関数\(\displaystyle\hspace{1pt} f(x) = \frac{3}{4}x^2 + (\sin \theta -2)x + \cos^2 \theta -1\hspace{2pt}\)について以下の問いに答えよ。ただし、\(0 \leqq \theta < 2 \pi\hspace{2pt}\)とする。
　(3) \(\hspace{1pt}y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた部分の面積の最小値を求めよ』
　

以下の1/6公式

から二次関数のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた面積を求めることができます。

\(y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフが\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と\(\hspace{1pt}x = \alpha \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \beta\hspace{1pt}\)で交わるとき、\(y = f(x)\hspace{1pt}\)のグラフと\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた面積は $$ \begin{aligned} S = & -\frac{3}{4} \int_\alpha^\beta (x - \alpha)(x-\beta) dx\\[0.7em] = & -\frac{3}{4} \left(-\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right)\\[0.7em] = & \frac{1}{8} (\beta - \alpha)^3 \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

ここで、問題(2)から\(\hspace{2pt}\beta - \alpha\hspace{2pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}\theta = \frac{\pi}{6} \hspace{1pt}, \hspace{1pt} \frac{5}{6}\pi\hspace{2pt}\)のとき、最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{4 \sqrt{3}}{3}\hspace{1pt}\)となることから、\(S\hspace{1pt}\)の最小値は $$ \begin{aligned} S = & \frac{1}{8} \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3} \right)^3 \\[0.7em] = & \frac{8 \sqrt{3}}{9} \\[0.5em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
　本問は、二次関数と\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸に囲まれた部分の面積を求める問題です。

本問のように

　(1) 二次方程式の判別式\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)から異なる\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの交点をもつ条件を求める
　(2) 二次関数が\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸から切り取る線分の長さ\(\hspace{1pt}\beta - \alpha \hspace{1pt}\)を求める
　(3) 線分の長さの最小値の結果を利用し、面積の最小値を求める

という問題の流れは、よく出題されるパターンの一つです。

上記のように面積を求めると、\(\beta - \alpha \hspace{1pt}\)を計算する過程で判別式\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)以外の項が打ち消し合うため、本問のように係数が複雑な二次関数に囲まれた面積を求める場合に有効な手順です。

上記の計算の流れは、他の直線と二次関数で囲まれた面積の最小値を求める問題でも有効なため、覚えておくと計算時間の短縮や検算に便利なテクニックです。
　

【関連するページ】
・定積分