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xe^2xの不定積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\large\int x e^{2x} \hspace{1pt}dx}$$

指数関数\({\ e^x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の積の積分は部分積分が有効です。

【答え】
　　\(\displaystyle \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。

部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。

$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$

部分積分は
　・『簡単に積分できる関数を \({f'(x)}\)』
　・『微分するとシンプルになる関数を \({g(x)}\)』
とすることがポイントです。

本問では \({f'(x)= e^{2x}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= x}\) とおいて計算します。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int x e^{2x} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({f'(x)=e^{2x},\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int x e^{2x} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int x \left(\frac{1}{2}e^{2x} \right)' \hspace{1pt}dx \\[1em] &= x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} +C \\[1em] \end{aligned} $$

　

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