tの多項式の不定積分

【答え】
　\(\displaystyle - \frac{1}{3}t^{3} - \frac{x}{2}t^{2} +2x^2 t +C \hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の不定積分は \({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$

積分の変数が\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)であるため、\({x\hspace{2pt}}\)を定数として積分します。

また、本問は被積分関数が\(\hspace{1pt}f(x) = (x-t)(2x+t) \hspace{1pt}\)と積の式になっています。

まずは、被積分関数を展開して和の式に変形して積分します。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (x-t)(2x+t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}\)を求めよ』

問題の積分を計算すると $$ \begin{aligned} & \int (x-t)(2x+t)\hspace{1pt}dt\\[1em] & =\int ( -t^2 -xt +2x^2) \hspace{1pt}dt\\[1em] & = -\int t^2 \hspace{1pt}dt -x \int t \hspace{1pt}dt +2x^2 \int 1 \hspace{1pt}dt \\[1em] & = - \frac{1}{3}t^{3} - x \cdot \frac{1}{2}t^{2} +2x^2 t +C \\[1.0em] & = - \frac{1}{3}t^{3} - \frac{x}{2}t^{2} +2x^2 t +C \\[1.0em] \end{aligned} $$ となります。(\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

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