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cos^3xの不定積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $${\large\int \cos^3 x \hspace{1pt}dx}$$

三倍角の公式$${\hspace{10pt}\cos3 x = -3\cos x +4\cos^3 x\hspace{10pt}}$$ から変形します。

\({t = \sin x}\) とおき、置換積分法から計算することもできます。

【答え】
　\(\displaystyle \frac{3}{4}\sin x +\frac{1}{12} \sin 3x +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
三倍角の公式 $${\hspace{10pt}\cos3 x = -3\cos x +4\cos^3 x\hspace{10pt}}$$ すなわち $${\hspace{10pt}\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos 3 x}{4}\hspace{10pt}}$$ から変形します。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \cos^3 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

積分を計算すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \cos^3 x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{4} \int (3 \cos x +\cos 3x) \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \frac{1}{4}\left(3 \sin x +\frac{1}{3}\sin 3x \right)+C\hspace{10pt}\\[1em] &= \frac{3}{4}\sin x +\frac{1}{12} \sin 3x +C\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

【別解】
別解として、置換積分法から計算することもできます。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \cos^3 x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int (1- \sin^2 x) \cos x\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで、\({t = \sin x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$ となります。すなわち、\({dt = \cos x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int (1- \sin^2 x) \cos x \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int (1-t^2) \hspace{1pt}dt \\[1em] &= t - \frac{1}{3}t^3 + C\hspace{10pt}\\[1em] &= \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C\hspace{10pt}\\[1em] \end{aligned} $$

三倍角の公式を使用した場合と式が異なるように見えますが、sinの三倍角の公式でさらに変形すると、同じ結果となることが分かります。

三倍角の公式 $${\sin3 x = 3\sin x -4\sin^3 x}$$ から

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + C \\[1em] &= \sin x - \frac{1}{3}\cdot \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} + C \\[1em] &= \frac{3}{4}\sin x +\frac{1}{12} \sin 3x +C \\[1em] \end{aligned} $$

　

【関連するページ】
・三倍角の公式

・置換積分法

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