◆第問目！
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。 $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em] & = F(b)-F(a)\\[1em] \end{aligned} $$
また、1/6公式
を利用することもできます。
【答え】
\(\displaystyle -\frac{8\sqrt{2}}{3} \)
【解答のポイント】
関数 \({f(x)}\) の不定積分を \({F(x)}\) とするとき、2つの実数 \({a,b}\) で定義される区間 \({a \leqq x \leqq b}\) における定積分は以下のように計算します。
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}\int_a^{b} f(x)dx & = \left[ f(x) \right]_a^b \\[1em]
& = F(b)-F(a)\\[1em]
\end{aligned}
$$
本問をそのまま定積分を求めようとすると計算が煩雑になります。
そこで、1/6公式
が利用できるように因数分解すると簡単に計算することができます。(別解に記載)
【解答】
問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (x^2-2x-1) \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の積分を計算すると
【別解】(1/6公式を使い計算)
問題の被積分関数\({\hspace{1pt}x^2-2x-1\hspace{2pt}}\)を因数分解すると
となります。
この積分を1/6公式
から求めると
【関連するページ】
・定積分