◆第問目！
三角関数の積分公式 $${\int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C}$$ から計算します。
【答え】
\(\displaystyle -\frac{1}{3} \cos (3x+2)+C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
本問は三角関数の積分公式
$${\int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C}$$
から計算します。
また、\({F'(x)=f(x),a \neq 0}\)のときの積分公式
$${\int f(ax+b)\hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b)+C}$$
を使用します。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \sin(3x+2) \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の積分を計算すると
となります。
【別解】
置換積分法を使用する場合は、以下のようになります。
\({t=3x+2}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = 3}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dx = \frac{1}{3}\hspace{1pt} dt}\) と表せます。
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \sin(3x+2) \hspace{1pt}dx \\[0.7em]
=& \int \frac{1}{3}\hspace{1pt} \sin t \hspace{1pt}dt \\[0.7em]
=& \frac{1}{3} (- \cos t) +C\\[0.7em]
=& -\frac{1}{3} \cos (3x+2)+C\\[0.5em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・三角関数の積分公式