tanxの逆数の不定積分

【答え】
　\(\displaystyle \log |\sin x| +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
まず、三角関数の相互関係から\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}\hspace{2pt}}\)と変形します。

被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、 $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ と計算することができます。

本問は、\({f(x)=\sin x\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)= \cos x\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{1}{\tan x} \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

まず、三角関数の相互関係から $${\int \frac{1}{\tan x} \hspace{1pt} dx=\int \frac{\cos x}{\sin x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。

被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ が成り立つことから $$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{\cos x}{\sin x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \int \frac{(\sin x)'}{\sin x} \hspace{1pt} dx \\[1em] &= \log |\sin x| +C \\[1em] \end{aligned} $$ となります。
　

【別解】
上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。

まず、三角関数の相互関係から $${\int \frac{1}{\tan x} \hspace{1pt} dx=\int \frac{\cos x}{\sin x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。

\({t = \sin x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$ となります。すなわち、\({dt = \cos x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法

・tanの積分公式