y=sinxとy=cosxに囲まれた部分の回転体の体積

【解答のポイント】

${y=\sin x\hspace{2pt},}$${\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}$のグラフを描くと、回転する部分が${x\hspace{1pt}}$軸をまたいでいることが分かります。

${x\hspace{1pt}}$軸をまたいでいる部分の回転体の体積を求めるときは、${\hspace{1pt}y< 0 \hspace{2pt}}$となる箇所を${\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}$軸で折り返した部分を含めて回転体を考えます。

区間${\hspace{1pt}[a,b]\hspace{2pt}}$において関数${\hspace{1pt}f(x) \geqq g(x) \geqq 0 \hspace{2pt}}$であるとき、この2つの曲線と${\hspace{1pt}x=a,x=b\hspace{2pt}}$によって囲まれる部分を${\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}$軸の周りに回転させた回転体の体積は

と求められます。

【解答】

まず、${y=\sin x\hspace{2pt},}$${\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}$の交点の座標は $${x = \frac{\pi}{4}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{5}{4}\pi}$$ となります。

${y=\sin x\hspace{2pt},}$${\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}$のグラフを描くと以下のようになります。

ここで、上図から${\hspace{1pt}y=\sin x\hspace{2pt},}$${\hspace{3pt}y= \cos x\hspace{2pt}}$は${\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}$軸をまたいでいるため、${\hspace{1pt}y< 0 \hspace{2pt}}$となる箇所を${\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}$軸で折り返した部分を含めて回転体を考えます。

以下に、${\hspace{1pt}y< 0 \hspace{2pt}}$となる箇所を${\hspace{1pt}x\hspace{1pt}}$軸で折り返した部分を含めた図を示します。図中の黄色に塗られた部分が回転すると考えて積分します。

上図から、回転する部分は$\displaystyle{\hspace{1pt}x=\frac{3}{4}\pi\hspace{2pt}}$で対称となっていることが分かります。

そのため、区間$\displaystyle \hspace{1pt}\left[\frac{\pi}{4},\frac{3}{4}\pi \right]\hspace{1pt}$で求められる体積を2倍して全体の体積を求めます。

以上から、回転体の体積は以下のように求められます。

と求められます。

(上記の計算過程には半角の公式 $$\displaystyle{\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ $$\displaystyle{\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}}$$を使用しています。)