媒介変数表示された楕円の面積

【答え】
　\(\displaystyle ab \pi \)
　

【解答のポイント】
本問は媒介変数表示された楕円の面積を求める問題です。

楕円は\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)軸に関して対称であるため、\({x \geqq 0\hspace{2pt},}\)\({\hspace{1pt}y \geqq 0\hspace{2pt}}\)の部分の面積を求めてから、4倍して全体の面積を求めます。

図の楕円の4分の1の面積は $${\int_{0}^{a} y \hspace{1pt}dx }$$ から求められるので、\(y\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}dx\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\theta\hspace{2pt}\)で表して積分を計算します。

このとき、変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の積分区間\(\hspace{2pt}[0 , a]\hspace{2pt}\)を変数\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)における積分区間に変換します。
　

【解答】
　問題 : 『 \({x=a \cos \theta\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{2pt}y=b \sin \theta\hspace{2pt}}\)\({(\hspace{1pt}a,b>0\hspace{2pt},0 \leqq \theta \leqq 2\pi\hspace{1pt})}\) に囲まれる面積を求めよ』
　

問題の楕円を図に描くと以下のようになります。

楕円は\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸と\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)軸に関して対称であるため、\({x \geqq 0\hspace{2pt},}\)\({\hspace{1pt}y \geqq 0\hspace{2pt}}\)の部分の面積を求めてから、4倍して全体の面積を求めます。

ここで、上図の積分区間は\({\hspace{1pt}[0,a]\hspace{2pt}}\)となりますが、\({x= a \cos \theta \hspace{2pt}}\)から変数\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の範囲に対応する 変数\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)の範囲を求めると、以下のようになります。

また、\({x=a \cos \theta\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}\theta\hspace{2pt}}\)に関して微分すると\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{dx}{d\theta}=-a\sin \theta\hspace{2pt}}\)となることから、\({\hspace{1pt}dx=-a \sin \theta d\theta\hspace{2pt}}\)と表せます。

以上から、図の楕円の4分の1の面積は以下のように求められます。

と求められます。

(上記の計算過程には半角の公式 $$\displaystyle{\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}$$を使用しています。)

したがって、求める面積は $${\frac{ab}{4} \pi \times 4 = ab \pi}$$ となります。