◆第問目！
部分積分を2回繰り返すことで積分します
【答え】
\(\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \sin 2x +\frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4} \sin 2x +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
本問では、まず\({f'(x)= \cos 2x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= x^2}\) とおいて計算します。
その結果、\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int x \sin 2x dx\hspace{2pt}}\)の項が現れるため、再び部分積分をして計算します。
三角関数の積分は三角関数の積分公式から
$$
\begin{aligned}
& \int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C \\[1em]
& \int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x + C \\[1em]
\end{aligned}
$$
を用います。
【解答】
問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int x^2 \cos 2x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
\({f'(x)=\cos 2x,\hspace{1pt}g(x)=x^2}\) として部分積分から積分します。
ここで、\({\displaystyle\int x \sin 2x\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)を\({\hspace{1pt}f'(x)=\sin 2x,\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。
したがって
【関連するページ】
・部分積分