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1/(1+cosx)の不定積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx}$$

分母分子に\({\hspace{1pt}(1-\cos x)\hspace{2pt}}\)をかけて変形します。

もしくは半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ を利用することもできます。

【答え】
　\(\displaystyle -\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\sin x} +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
問題の積分は分母分子に\({\hspace{1pt}(1-\cos x)\hspace{2pt}}\)をかけて変形します。

もしくは半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ を利用することもできます。

半角の公式を使うと簡単に積分を計算することができます。

本問に限らず、被積分関数に\(\hspace{2pt} 1 + \cos x\hspace{2pt}\)という式が含まれている場合は半角の公式が使えないか試してみましょう。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

問題の積分を変形すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1-\cos x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1-\cos x}{1-\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] \end{aligned} $$

ここで\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)と\(\displaystyle{\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)をそれぞれ計算します。

\(\displaystyle{\int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{1pt}t=\tan x\hspace{2pt}}\)と置換し積分します。

\({t=\tan x\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx\hspace{2pt}}\)と表せます。

積分の変数を置き換えると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{\tan^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{t^2}\hspace{1pt}dt \\[1em] &= -\frac{1}{t} +C\\[1em] &= -\frac{1}{\tan x} +C\\[1em] \end{aligned} $$

また\(\displaystyle{\hspace{1pt}\int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}}\)は\({\hspace{2pt}t=\sin x\hspace{2pt}}\)と置換します。

\({t=\sin x\hspace{2pt}}\)の両辺を \({x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $${\frac{dt}{dx} = \cos x}$$ となります。すなわち、\({dt = \cos x dx\hspace{2pt}}\)と表せます。

積分の変数を置き換えると、以下のようになります。

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{t^2 }\hspace{1pt}dt \\[1em] &= -\frac{1}{t} +C\\[1em] &= -\frac{1}{\sin x} +C\\[1em] \end{aligned} $$

以上から

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx - \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= -\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\sin x} +C \\[1em] \end{aligned} $$

　

【別解】
別解として半角の公式 $$\displaystyle{\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}}$$ を利用する方法もあります。

半角の公式から変形すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{1}{1+\cos x}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}\hspace{1pt}dx \\[1em] &= \tan \frac{x}{2} +C \\[1em] \end{aligned} $$

二つの解法から求められた答えが一致するか確かめてみると

$$ \begin{aligned} \tan \frac{x}{2} &= \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \\[1em] &= \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \\[1em] &= \frac{1-\cos x }{\sin x} \\[1em] &= \frac{-\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} \\[1em] &= -\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\sin x} \\[1em] \end{aligned} $$

であることから2つの解が一致することが分かります。

(上記の式変形には二倍角の公式、半角の公式を使用しています。)
　

【関連するページ】
・置換積分法

・半角の公式

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