【答え】
\(\displaystyle \frac{e^x}{5}(\sin^2 x - \sin 2 x +2 )+C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
2つの関数の積の積分であるため 部分積分から求めたいですが、\({e^x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{2pt}\sin^2 x\hspace{2pt}}\)のどちらを微分しても簡単な関数にならないため、1回部分積分をしただけでは求められません。
そこで、部分積分を2回繰り返すと元の積分が現れることを利用します。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$
\begin{aligned}
&\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\
&\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\
\end{aligned}
$$
【解答】
問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
\(\displaystyle{I= \int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx}\) として計算します。
部分積分から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}I & = \int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int (e^x)' \sin^2 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= e^x \sin^2 x - \int e^x (2 \sin x \cos x) \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= e^x \sin^2 x - 2 \int e^x \sin x \cos x \hspace{1pt}dx\\[1em]
\end{aligned}
$$
ここで、\({ \int e^x \sin x \cos x \hspace{1pt}dx\hspace{1pt}\hspace{2pt}}\)を部分積分から計算すると
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int e^x \sin x \cos x\hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \int (e^x)' \sin x \cos x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= e^x \sin x \cos x - \int e^x (\cos^2 x -\sin^2 x) \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= e^x \sin x \cos x - \int e^x (1- 2\sin^2 x) \hspace{1pt}dx\\[1em]
&= e^x \sin x \cos x - \int e^x \hspace{1pt}dx +2 \int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx\hspace{10pt}\\[1em]
&= e^x \sin x \cos x - e^x +2 I\\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
以上から
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt} I &= \int e^x \sin^2 x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= e^x \sin^2 x - 2 \int e^x \sin x \cos x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= e^x \sin^2 x - 2 ( e^x \sin x \cos x - e^x +2 I)\hspace{10pt}\\[1em]
&= e^x \sin^2 x - 2 e^x \sin x \cos x +2 e^x -4 I\\[1em]
\end{aligned}
$$
となることから
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt} I &= \frac{e^x}{5}(\sin^2 x - 2 \sin x \cos x +2 )+C\hspace{10pt} \\[1em]
&= \frac{e^x}{5}(\sin^2 x - \sin 2 x +2 )+C\hspace{10pt} \\[1em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【関連するページ】
・部分積分