◆第問目!
三角関数\({\ \sin x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{1pt}x\hspace{2pt}}\)の積の積分は部分積分が有効です。
【答え】
\(\displaystyle \hspace{2pt}- \frac{1}{2}x \cos(2x-1) + \frac{1}{4} \sin(2x-1) +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
本問は部分積分により積分する問題です。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$ \begin{aligned} &\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\ &\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\ \end{aligned} $$
部分積分は
・『簡単に積分できる関数を \({f'(x)}\)』
・『微分するとシンプルになる関数を \({g(x)}\)』
とすることがポイントです。
本問では \({f'(x)= \sin(2x-1)\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)= x}\) とおいて計算します。
また、三角関数の積分は三角関数の積分公式から
$$
\begin{aligned}
& \int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C \\[1em]
& \int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x + C \\[1em]
\end{aligned}
$$
を用います。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int x \sin (2x-1) \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
\({f'(x)=\sin(2x-1),\hspace{1pt}g(x)=x}\) として部分積分から積分します。
【関連するページ】
・部分積分