無理関数との積の不定積分

【答え】
　\(\displaystyle \frac{2}{5}(x+3)^2\sqrt{x+3} -2 (x+3)\sqrt{x+3} +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
置換積分法から変数を置き換えて積分します。

\({\int x\sqrt{x+3}\hspace{1pt} dx}\) のように、ルートの内側が \({x}\) の1次式である場合は、\({t=\sqrt{x+3}}\) と根号を含めて置換して積分します
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int x\sqrt{x+3} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({t = \sqrt{x+3}}\) とおくと、\({t^2=x+3}\) から \({x=t^2 -3}\) となります。

\({x=t^2 -3}\) の両辺を \({t}\) で微分すると $${\frac{dx}{dt} = 2t}$$ となります。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法