絶対値を含む三角関数の定積分

【答え】
　　\({\displaystyle 4}\)
　

【解答のポイント】
絶対値を含む定積分は、まず絶対値の記号を外す必要があります。

問題の被積分関数は三角関数の和であるため、三角関数の合成をすることで絶対値の記号を外します。
　

【解答】
　問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_0^{\pi} |\sin x - \sqrt{3}\cos x|\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

三角関数の合成の公式から $${a \sin x + b \cos x = r \sin (x + \alpha)}$$ に対して \({r=\sqrt{a^2+b^2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\displaystyle {\sin \alpha = \frac{b}{r}\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\displaystyle {\cos \alpha = \frac{a}{r}}\) を計算します。

\({r=\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2}\) から $${\sin x -\sqrt{3}\cos x = 2\sin(x + \alpha)}$$ と変形されます。

ここで \({ \displaystyle\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\displaystyle {\cos \alpha = \frac{1}{ 2}}\) を満たす \({\alpha}\) は \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} }\) において \(\displaystyle{\alpha = -\frac{\pi}{3}}\) であるため $${\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}$$ となります。

\(\displaystyle{0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}\hspace{2pt}}\)であるとき\(\displaystyle{\hspace{2pt}\sin \left(x-\frac{\pi}{3} \right) \leqq 0\hspace{2pt}}\)

\(\displaystyle{\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \pi\hspace{2pt}}\)であるとき\(\displaystyle{\hspace{2pt}\sin \left(x-\frac{\pi}{3} \right) \geqq 0\hspace{2pt}}\)

となることから、問題の積分を計算すると

【関連するページ】
・三角関数の合成