◆第問目！
積分区間に変数\({x}\)が含まれる場合は、両辺を\({x}\)で微分します。
【答え】
\(\hspace{1pt}f(x) = 6x+4\hspace{1pt}\)
\(\displaystyle\hspace{1pt}a = \frac{2}{3}\hspace{1pt}, \hspace{1pt} -2\hspace{1pt}\)
【解答のポイント】
未知の関数\({f(x)}\)が積分に含まれる方程式を積分方程式といいます。
積分区間に変数\({x}\)が含まれる場合は、両辺を\({x}\)で微分することで関数\({f(x)}\)を求めます。
【解答】
問題 : 『\(\displaystyle{\int_a^{x}f(x)\hspace{1pt} dx = 3x^2+4x-4}\) を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)と定数\({\hspace{1pt}a\hspace{2pt}}\)を求めよ』
式の左辺の不定積分の1つを \({F(x)}\) とするとき、左辺の定積分を\({x}\)で微分すると以下のようになります。
ここで、\({F(x)}\) は \({f(x)}\) の不定積分であるから $${\frac{d}{dx}F(x) = f(x)}$$ また、\({F(a)}\) は定数であるから $${\frac{d}{dx}F(a) = 0}$$ すなわち $${\frac{d}{dx} \int_a^{x}f(x)\hspace{1pt} dx = f(x)}$$ となります。
したがって、問題の両辺を \({x}\)で微分すると、以下のようになります。 $${f(x) = 6x+4 }$$
また、定積分の性質から、\({x=a}\)とおくと左辺が \(0\) となることから
$${0 = 3a^2+4a-4}$$
すなわち
$${(3a-2)(a+2)=0}$$
から
$${a = \frac{2}{3}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2}$$
となります。
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