◆第問目！
三角関数の相互関係から $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ と変形できます。
\(\displaystyle{\hspace{1pt}\frac{\sin x}{\cos x}\hspace{2pt}}\)は分母を \({f(x)}\) としたとき、分子が \({-f'(x)}\) の関係になっています
【答え】
\(\displaystyle - \log |\cos x| +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
まず、三角関数の相互関係から
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$
と変形できます。
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であれば、 $${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$ と計算することができます。
本問は、\({f(x)=\cos x\hspace{2pt}}\)とすると、\({f'(x)=- \sin x\hspace{2pt}}\)であるため、上記の公式を使用できます。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \tan x \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
まず、三角関数の相互関係から $${\int \tan x \hspace{1pt} dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。
被積分関数が \(\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}}\) の形式であるとき
$${\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log |f(x)| + C}$$
が成り立つことから
$$
\begin{aligned}
\hspace{10pt}& \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= - \int \frac{(-\sin x)}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \hspace{1pt} dx \\[1em]
&= - \log |\cos x| +C \\[1em]
\end{aligned}
$$
となります。
【別解】
上記の公式を使わずに解く場合、置換積分法から変数を置き換えて積分します。
まず、三角関数の相互関係から $${\int \tan x \hspace{1pt} dx=\int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ と変形します。
\({t = \cos x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると $${\frac{dt}{dx} = - \sin x}$$ となります。すなわち、\({dt = - \sin x\hspace{1pt} dx}\) と表せます。
変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。
【関連するページ】
・置換積分法