◆第問目！
本問の被積分関数には根号が含まれていますが $${x^4 -2x^2 +1 = (x^2-1)^2}$$ と変形することで根号を外すことができます。
根号を外すときには、絶対値記号を付けることを忘れないようにします。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。 $$|x| = \begin{dcases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{dcases} $$
【答え】
\({\displaystyle 4}\)
【解答のポイント】
本問の被積分関数には根号が付けられていますが
$$
\begin{aligned}
\sqrt{x^4 -2x^2 +1} &= \sqrt{(x^2-1)^2} \\[1em]
&= |x^2-1| \\[1em]
\end{aligned}
$$
と根号を外すことができます。
根号を外すときは、絶対値記号を付けることを忘れないようにしましょう。
絶対値記号は、中身が正か負かで場合分けをすることで外すことができます。
$$|x|
=
\begin{dcases}
x & ( x \geqq 0 ) \\
-x & ( x \lt 0 )
\end{dcases}
$$
【解答】
問題 : 『定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int_{0}^{2} (\sqrt{x^4 -2x^2 +1} +x) dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
まず、被積分関数を変形すると
となります。
ここで、関数\({\hspace{1pt}f(x)=|x^2-1|\hspace{2pt}}\)を積分区間\(\hspace{1pt}[0,2]\hspace{1pt}\)において場合分けすると
[1] \( 0 \leqq x \leqq 1\hspace{1pt}\)のとき
$${|x^2 -1| = -(x^2-1)}$$
[2] \(1 \leqq x \leqq 2\hspace{1pt}\)のとき
$${|x^2 -1| = x^2 -1}$$
となります。
したがって、求める定積分は
となることから
したがって、求める定積分は
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{2} (\sqrt{x^4 -2x^2 +1} +x) dx\\[1.0em]
& = \frac{7}{6} + \frac{17}{6}\\[1.0em]
& = 4 \\[1.0em]
\end{aligned}
$$
となります。
【関連するページ】
・定積分