積分方程式

【答え】
　\(\displaystyle\hspace{1pt}f(x) = 3x^2 -\frac{16}{3}\)
　

【解答のポイント】
未知の関数\({f(x)}\) が積分に含まれる方程式を積分方程式といいます。

\(\displaystyle{ \int_0^2 f(t) dt}\) は定数となるため、文字に置き換えて積分を計算します。
　

【解答】
　問題 : 『\(\displaystyle{f(x) = 3x^2 + 2 \int_0^2 f(t) dt}\) を満たす関数\({\hspace{1pt}f(x)\hspace{2pt}}\)を求めよ』

\(\displaystyle{ \int_0^2 f(t) dt}\) は定数となるため $${\int_0^2 f(t) dt = a}$$ とおきます。

このとき、関数 \({f(x)}\) は以下のようになります。 $${f(x) = 3x^2 + 2a}$$

上式を区間 \({0 \leqq x \leqq 2}\) で積分すると、以下のようになります。

ここで、\(\displaystyle{\int_0^{2} f(t)\hspace{1pt} dt = a}\) であることから、以下が成り立ちます。 $${4a +8 = a}$$ すなわち $${a = -\frac{8}{3} }$$

したがって、求める関数 \({f(x)}\) は $${f(x) = 3x^2 -\frac{16}{3}}$$ となります。
　

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