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三角関数を含む分数関数の積分

◆第問目！

【 数Ⅲ : 難易度 ★ 】
　　次の不定積分を求めよ $$\large{\int \frac{\cos^2 x -x}{x(1-\sin^2 x)} \hspace{1pt}dx}$$

三角関数の相互関係\({\hspace{2pt}\sin^2 x + \cos^2 x = 1\hspace{2pt}}\)から式を変形します

【答え】
　　\(\displaystyle \log |x| -\tan x +C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
まず、三角関数の相互関係 $${\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$$ から式を変形します。

また、三角関数の微分公式から $${(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ の関係があるため $${\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tan x +C}$$ が成り立つことを利用します。
　

【解答】
　問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{\cos^2 x -x}{x(1-\sin^2 x)} \hspace{1pt}dx \hspace{2pt}\)を求めよ』
　

問題の積分を計算すると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}& \int \frac{\cos^2 x -x}{x(1-\sin^2 x)} \hspace{1pt}dx \\[1em] &= \int \frac{\cos^2 x -x}{x \cos^2 x} \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) \hspace{1pt}dx\\[1em] &= \log |x| -\tan x +C\\[1em] \end{aligned} $$

　

【関連するページ】
・三角関数の微分公式

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