◆第問目！
部分積分を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)回繰り返すと、同じ積分が表れることを利用して計算します。
【答え】
\(\displaystyle \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
2つの関数の積の積分であるため 部分積分から求めたいですが、\({e^x\hspace{2pt}}\)と\({\hspace{2pt}\sin x\hspace{2pt}}\)のどちらを微分しても簡単な関数にならないため、1回部分積分をしただけでは求められません。
そこで、部分積分を2回繰り返すと元の積分が現れることを利用します。
部分積分とは、2つの微分可能な関数 \({f(x),\hspace{3pt}g(x)}\) の積分に以下が成り立つことを利用して積分する方法です。
$$
\begin{aligned}
&\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)\hspace{1pt}dx \\
&\hspace{2pt}= f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx \\
\end{aligned}
$$
【解答】
問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
\(\displaystyle{I= \int e^x \sin x \hspace{1pt}dx}\) として計算します。
部分積分から
ここで、\({ \int e^x \cos x \hspace{1pt}dx\hspace{1pt}\hspace{2pt}}\)を部分積分から計算すると
となります。
したがって
$${I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)}$$
となることから
$${I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) }$$
すなわち
$$
\begin{aligned}
& \int e^x \sin x \hspace{1pt}dx \\[1em]
&= \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)+C \\[1em]
\end{aligned}
$$
【関連するページ】
・部分積分