◆第問目！
問題の不定積分は\({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。 $$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
【答え】
\(\displaystyle t^{4} - 2 t^{3} + 4 t^2 +C\hspace{1pt}\) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【解答のポイント】
問題の不定積分は \({n \neq -1}\) のとき関数 \({f(x)=x^n}\) に成り立つ不定積分の公式から計算します。
$$\displaystyle{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$
積分の変数に\({\hspace{1pt}t\hspace{2pt}}\)が使われていますが、\({x\hspace{2pt}}\)のときと同様に計算します。
【解答】
問題 : 『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int (4t^3 -6 t^2 +8t) \hspace{1pt}dt\hspace{2pt}\)を求めよ』
問題の積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
& \int (4t^3 -6 t^2 +8t) \hspace{1pt}dt\\[1em]
&= 4 \int t^3 \hspace{1pt}dt -6 \int t^2 \hspace{1pt}dt + 8\int t \hspace{1pt}dt \\[1em]
& = 4 \cdot \frac{1}{4}t^{4} - 6 \cdot \frac{1}{3}t^{3} + 8 \cdot \frac{1}{2}t^2 +C \\[1.0em]
& = t^{4} - 2 t^{3} + 4 t^2 +C \\
\end{aligned}
$$
となります。(\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
【関連するページ】
・不定積分