sin(logx)/xの不定積分

【答え】
　\(\displaystyle -\cos ( \log x) +C \) (\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)は積分定数)
　

【解答のポイント】
　問題の積分は\({\hspace{1pt}f(x)=\log x\hspace{2pt}}\)とすると、\({\displaystyle\hspace{1pt}f'(x)=\frac{1}{x}\hspace{2pt}}\)であることから\(\displaystyle{\hspace{2pt}\int f'(x)\hspace{1pt}\sin(f(x))\hspace{1pt} dx}\) の形式となります。

　このような積分は、置換積分法が有効です。
　

【解答】
　問題 :『不定積分\(\displaystyle\hspace{2pt}\int \frac{\sin(\log x)}{x}\hspace{1pt}dx\hspace{2pt}\)を求めよ』
　

\({t=\log x}\) とおき、両辺を \({x}\) で微分すると、対数関数の微分から $${\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle{dt = \frac{1}{x} \hspace{1pt} dx}\) と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

【関連するページ】
・置換積分法