sin^3xの不定積分

【解答のポイント】

三倍角の公式 $${\hspace{10pt}\sin3 x = 3\sin x -4\sin^3 x\hspace{10pt}}$$ すなわち $${\hspace{10pt}\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3 x}{4}\hspace{10pt}}$$ から変形します。

【解答】

積分を計算すると、以下のようになります。

【別解】

別解として、置換積分法から計算することもできます。

ここで、${t = \cos x}$ とおき、両辺を ${x}$ で微分すると $${\frac{dt}{dx} = - \sin x}$$ となります。すなわち、${dt = - \sin x\hspace{1pt} dx}$ と表せます。

変数を置き換えて積分すると、以下のようになります。

三倍角の公式を使用した場合と式が異なるように見えますが、cosの三倍角の公式でさらに変形すると、同じ結果となることが分かります。

三倍角の公式 $${\cos3 x = -3\cos x +4\cos^3 x}$$ から

【関連するページ】
・三倍角の公式

・置換積分法