ベクトル ランダム問題集

【難易度★】
　高校数学の教科書の基本的な例題レベルの難易度です。
　基本を理解できているかのチェックをしたい方向けです。

【難易度★★】
　高校数学の教科書の演習・章末問題のレベルの難易度です。
　数学の定期試験の対策がしたい方向けです。

【難易度★★★】
　高校数学の教科書の問題と比べ、やや難しい難易度です。
　入試問題の基礎的なレベルの問題を解きたい人向けです。

【ランダムに出題】
従来の問題集では、問題の種類ごとに整理されている形式が一般的であるため、解き始める前に『解法のパターン』を分かった上で解くことになります。

そのため、従来の問題集では問題文から解法を見抜く力を養うことができないという欠点があります。

本問題集では、問題をランダムに出題することで定期テスト・入試問題で必須となる "問題文から解法を見抜く力" が付くように意図しています。

また、本ページの下部に問題の一覧も掲載しているため、通常の問題集としても活用できます。

【ヒントボタン】
本問題集では、問題の下のヒントボタンを押すことで解答のヒントが見れるようにしています。

『自力で解けそうな場合はヒントなしで解く』、『手も足も出ない場合にヒントを見る』とすることで "段階的にレベルアップ" できることを意図しています。

【問題数】
本問題集では、高校数学のベクトルに関連する問題を計33問掲載しています。

◆平面ベクトル
　【ベクトルの演算】
問題1 : 次の等式を満たすベクトル\(\hspace{2pt}\vec{x} \hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} \hspace{2pt}\)を用いて表せ.
　　\(2(\hspace{1pt}\vec{x} +\hspace{1pt}\vec{a} - \hspace{1pt}\vec{b})= 3\hspace{1pt}(\vec{x} -2\hspace{1pt}\vec{a} +\vec{b})\)

問題2 : 次の等式を満たすベクトル\(\hspace{2pt}\vec{x} \hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{y} \hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} \hspace{2pt}\)を用いて表せ.
\[ \begin{cases} 2\hspace{1pt}\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} + \vec{b}\\[0.5em] \vec{x} + 3\hspace{1pt}\vec{y} = 2\hspace{1pt}\vec{a} -\vec{b} \end{cases} \]

　【単位ベクトル】
問題3 : \(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)に対して次の問いに答えよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}|\vec{a}|\hspace{2pt}\)を求めよ.
　　(2) \(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と同じ向きの単位ベクトルを求めよ.
　　(3) \(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と平行な単位ベクトルを求めよ.
　

　【ベクトルの平行条件】
問題4 : \(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt}) \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}x+2\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)が平行であるときの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の値を求めよ.
　

　【ベクトルの分解】
問題5 : 以下の正六角形\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}B\hspace{1pt}C\hspace{1pt}D\hspace{1pt}E\hspace{1pt}F\hspace{2pt}\)において, 辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{2pt}\)の中点を\(\hspace{1pt}M\hspace{1pt}\)とするとき, 次のベクトルを\(\hspace{1pt} \overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{AF}\hspace{2pt}\)で表せ.
　　(1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CF}\)
　　(2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{FE}\)
　　(3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{AM}\)
　

　【内積の性質】
問題6 : \(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=2\hspace{2pt}\)であり, \(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}\theta = 60^\circ\hspace{1pt}\)であるとき, 以下の値を求めよ.
　　(1) \(\hspace{1pt} \vec{a} \cdot \vec{b}\)
　　(2) \(\hspace{1pt} |\vec{a} + \vec{b}|\)
　　(3) \(\hspace{1pt} |\vec{a} -2 \vec{b}|\)

問題7 : \(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 2\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=\sqrt{3}\hspace{2pt}\)であり, \(2\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}-\vec{b}\hspace{2pt}\)が垂直であるとき, \(\vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値を求めよ.

問題8 : \(\hspace{1pt}\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3)\hspace{2pt}\)となす角が\(\hspace{1pt}45^\circ\hspace{1pt}\)であり, 大きさが\(\hspace{1pt}\sqrt{5} \hspace{2pt}\)であるベクトルを求めよ.

　【三角形の面積】
問題9 : \(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(4\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3)\hspace{2pt}\)であるとき、次の値を求めよ.
　　(1) 内積\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)
　　(2) \(\angle AOB\hspace{2pt}\)の大きさ
　　(3) 三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)
　

【ベクトルの内分点の公式】
問題10 : 三角形\(OAB\hspace{2pt}\)において、辺\(\hspace{1pt}OA\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}2 : 1\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)、辺\(\hspace{1pt}OB\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}3 : 2\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{2pt}D\hspace{2pt}\)とする。また、線分\(AD\hspace{2pt}\)と線分\(BC\hspace{2pt}\)の交点を\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)とする。
　\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} = \vec{a}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\overrightarrow{OB} = \vec{b}\hspace{2pt}\)とするとき、\(\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{2pt} \vec{b}\hspace{2pt}\)により表せ。

◆空間ベクトル
　【空間の二点間の距離】
問題11 : 点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　　(1) 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離を求めよ.
　　(2) 二点\(\hspace{1pt}A,B\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　　(3) 三点\(\hspace{1pt}A,B,O\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(yz\hspace{1pt}\)平面上の点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　

　【空間における三角形の面積】
問題12 : \(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であるとき、次の値を求めよ.
　　(1) 内積\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)
　　(2) \(\angle AOB\hspace{2pt}\)の大きさ
　　(3) 三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)

◆平面ベクトル
　【垂直条件】
問題1 : \(\hspace{1pt}\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3)\hspace{2pt}\)と垂直な単位ベクトルを求めよ.
　

　【ベクトルの絶対値と最小値】
問題2 : \(\hspace{1pt}\vec{a} = (2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3)\hspace{2pt},\hspace{2pt}\vec{b} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)\hspace{2pt}\)とする. \(|\vec{a}+t \hspace{1pt}\vec{b}|\hspace{1pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}t \hspace{2pt}\)と, そのときの最小値を求めよ.

問題3 : \(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{b}| = 2\hspace{1pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{a}\cdot \vec{b} = -1\hspace{1pt}\)とする. \(|\vec{a}+t \hspace{1pt}\vec{b}|\hspace{1pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}t \hspace{2pt}\)と, そのときの最小値を求めよ.

問題4 : \(\hspace{1pt}|\vec{a}| = \sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{b}| = 2\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{c}| = 2\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{2pt}60^\circ ,\)\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{2pt}60^\circ ,\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が垂直であるとする.
このとき, \(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|\hspace{1pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y \hspace{2pt}\)と, そのときの最小値を求めよ.
　

　【ベクトルの三角不等式】
問題5 : 次の不等式を証明せよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}-|\vec{a}| |\vec{b}|\leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq |\vec{a}| |\vec{b}|\)
　　(2) \(\hspace{1pt} |\vec{a}| -|\vec{b}| \leqq |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\)
　

　【ベクトルの等式と面積比】
問題6 : 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + 3 \overrightarrow{PC}=0\hspace{2pt}\)が成り立つとき, 次の問いに答えよ.
　　(1) 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)はどのような位置の点か述べよ.
　　(2) 面積の比 \(\triangle APB : \triangle APC : \triangle PBC\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

　【点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲】
問題7 : 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}s + t = 3 \)
　　(2) \(\hspace{1pt}2s + 4t = 3 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)

問題8 : 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}s + t \leqq 2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)
　　(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}s + 2t \leqq \frac{1}{3}\hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)

問題9 : 座標平面上に\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{1pt}\)をとる.
　\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とするとき \(0 \leqq s \leqq 2 \hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}1 \leqq t \leqq 3 \hspace{1pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を図示せよ.
　

◆空間ベクトル
　【垂直条件】
問題10 : \(\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b} = (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)の両方に垂直な大きさが\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)のベクトルを求めよ.
　

　【ベクトルの絶対値と最小値】
問題11 : \(\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b} = (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2)\hspace{2pt}\)とする. \(|a + tb|\hspace{2pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)とそのときの最小値を求めよ.
　

　【定数を求める問題】
問題12 : \(\hspace{1pt}\vec{a} = (k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1-k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1+k)\hspace{2pt}\)が\(\hspace{3pt}\vec{b}=(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)の角をなすとき, 定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値を求めよ.

問題13 :\(\hspace{1pt}\vec{a} = (2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}\vec{b}=(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)であるとする.
　\(a +tb\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}a-tb\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{1pt}\)であるときの定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.

◆平面ベクトル
　【ベクトルの演算】
問題1 : \(\displaystyle \vec{a_n} = \left( \cos \frac{n \pi}{6}\hspace{1pt}, \hspace{1pt}\sin \frac{n \pi}{6} \right)\hspace{2pt},\)\(\displaystyle \hspace{3pt}\vec{b_n} = \left( \cos \frac{n \pi}{3}\hspace{1pt}, \hspace{1pt}\sin \frac{n \pi}{3}\right)\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n =0, 1 , 2 , \cdots)\hspace{2pt}\)とするとき,\(\displaystyle\hspace{3pt}\sum_{n=0}^{50} |\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2\hspace{2pt}\)の値を求めよ.
　

　【ベクトルと正五角形】
問題2 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　　(1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　　(2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　　(3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　　(4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　　(5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

　【垂心の位置ベクトル】
問題3 : \(\hspace{1pt}\angle AOB\hspace{1pt}\)が鋭角である三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}OA =4 \hspace{1pt},\hspace{1pt}OB = 5\hspace{1pt}\)であり, 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}5\sqrt{3}\hspace{2pt}\)であるとする.
　三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の垂心を\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)としたとき, \(\overrightarrow{OH}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}=\vec{b}\hspace{2pt}\)により表せ.
　

　【内心の位置ベクトル】
問題4 : 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}OA =2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}OB = 3\hspace{1pt}\)\(,\hspace{1pt}AB =4\hspace{2pt}\)であるとする. 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の内心を\(\hspace{1pt}I\hspace{1pt}\)としたとき, 以下の問に答えよ.
　　(1) \(\overrightarrow{OI}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}={\vec{b}}\hspace{2pt}\)により表せ.
　　(2) 内接円の半径を求めよ.
　

　【外心の位置ベクトル】
問題5 : 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}AB =\sqrt{6} \hspace{1pt},\hspace{1pt}AC = \sqrt{5}\hspace{2pt}\)であり, 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{39}}{4}\hspace{2pt}\)であるとする. 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)の外心を\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)としたとき, \(\overrightarrow{AO}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}=\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AC}={\vec{c}}\hspace{3pt}\)により表せ.
　

　【ベクトルの三角不等式】
問題6 : \(\hspace{1pt}|\vec{a}|=6 , |\vec{b}|=3 , |\vec{c}|=2\hspace{2pt}\)を満たすベクトルに対して\(\hspace{1pt}\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\hspace{3pt}\)が成り立つとする. 次の問いに答えよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最大値・最小値を求めよ.
　　(2) \(\hspace{1pt}\vec{x}\hspace{3pt}\)と\(\hspace{3pt}\vec{a}\hspace{3pt}\)が同じ方向を向くとき, \(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)のとりうる範囲を求めよ.
　(必要であれば任意のベクトル\(\hspace{2pt}\vec{p},\vec{q}\hspace{3pt}\)に成り立つ不等式 \(\hspace{1pt} |\vec{p}+ \vec{q}| \leqq |\vec{p}| +|\vec{q}|\hspace{2pt}\)を用いてもよい.)
　

◆空間ベクトル
　【四面体の体積】
問題7 : 座標空間に\(\hspace{1pt}A(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}D(3\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)をとるとき, 四面体\(\hspace{1pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{0.2pt}D\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)を求めよ.
　

　【四面体の体積の最大値】
問題8 : 座標空間に\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}A(2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2t)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(1-t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t-1)\hspace{2pt}\)をとるとき, 次の問いに答えよ.
　　(1) \(\hspace{1pt}OA \perp OC\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}OB \perp OC\hspace{2pt}\)を示せ.
　　(2) 三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}\)を求めよ.
　　(3) 四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{2pt}0 < t < 1\hspace{2pt}\)における最大値と, そのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.

・『ベクトル ランダム問題集』を公開(2026/3/6)

・難易度★に2問, ★★に3問, ★に2問, 合計7問を追加(2026/3/13)