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空間の二点間の距離を求める問題

◆第問目！

【 難易度 ★ 】
　点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　(1) 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離を求めよ.
　(2) 二点\(\hspace{1pt}A,B\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　(3) 三点\(\hspace{1pt}A,B,O\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(yz\hspace{1pt}\)平面上の点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.

二点の座標がそれぞれ\(\hspace{1pt}(x_1 , y_1 , z_1)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}(x_2 , y_2 , z_2)\hspace{1pt}\)であるとき 二点間の距離は

$$\hspace{10pt}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 +(z_2 - z_1)^2} }\hspace{10pt}$$

から求められます。

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸上にある点は \(y = 0 , z=0\) を満たすことから点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を\(\hspace{1pt}(x , 0 , 0)\hspace{2pt}\)とおきます。

\(\hspace{1pt}yz\hspace{1pt}\)平面上にある点は \(x = 0\) を満たすことから点\(Q\hspace{1pt}\)の座標を\(\hspace{1pt}(0 , y , z)\hspace{2pt}\)とおきます。

【答え】
　(1) \(\hspace{2pt} 2\sqrt{2}\)

　(2) \(\hspace{2pt}(1,0,0)\)

　(3) \(\hspace{2pt}(0,-1,2)\)
　

【解答のポイント】
　二点の座標がそれぞれ\(\hspace{1pt}(x_1 , y_1 , z_1)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}(x_2 , y_2 , z_2)\hspace{1pt}\)であるとき、二点間の距離は

$$\hspace{10pt}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 +(z_2 - z_1)^2} }\hspace{10pt}$$

から求められます。

点の座標を求める問題では座標を\(\hspace{1pt}(x,y,z)\hspace{1pt}\)とおき、距離が等しいという条件から\(\hspace{1pt}x,y,z\hspace{1pt}\)の満たす連立方程式を作ります。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　(1) 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離を求めよ.
　(2) 二点\(\hspace{1pt}A,B\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　(3) 三点\(\hspace{1pt}A,B,O\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(yz\hspace{1pt}\)平面上の点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.』
　

点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離\(\hspace{1pt}AB\hspace{1pt}\)は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}AB &= \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 +(1 - 1)^2} \hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{4 + 4 +0} \\[0.5em] &= \sqrt{8} \\[0.5em] &= 2\sqrt{2} \\ \end{aligned} $$

と求められます。
　

【問題(2)の解答】
　問題 : 『点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　(1) 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離を求めよ.
　(2) 二点\(\hspace{1pt}A,B\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　(3) 三点\(\hspace{1pt}A,B,O\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(yz\hspace{1pt}\)平面上の点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.』
　

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を\(\hspace{1pt}(x , 0 , 0)\hspace{2pt}\)とおきます。

点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と等距離であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}AP &= \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-1))^2 +(0 - 1)^2} \hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{(x^2 -4x +4) + 1 +1} \\[0.5em] &= \sqrt{x^2 -4x +6 } \\ \end{aligned} $$

また、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)と等距離であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}BP &= \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 1)^2 +(0 - 1)^2}\hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{x^2 +2 } \\[0.5em] \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}AP = BP\hspace{2pt}\)であることから\(\hspace{2pt}AP^2 = BP^2\hspace{2pt}\)より $$ \begin{aligned} x^2 -4x + 6 &= x^2 +2 \\[0.5em] 4x &= 4 \\[0.5em] x &= 1 \\ \end{aligned} $$ したがって、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標は\(\hspace{1pt}(1,0,0)\hspace{2pt}\)となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 : 『点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)について次の問いに答えよ.
　(1) 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)の距離を求めよ.
　(2) 二点\(\hspace{1pt}A,B\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(x\hspace{1pt}\)軸上にある点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.
　(3) 三点\(\hspace{1pt}A,B,O\hspace{1pt}\)から等距離であり, \(yz\hspace{1pt}\)平面上の点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標を求めよ.』
　

\(\hspace{1pt}yz\hspace{1pt}\)平面上にある点は \(x = 0\) を満たすことから点\(Q\hspace{1pt}\)の座標を\(\hspace{1pt}(0 , y , z)\hspace{2pt}\)とおきます。

点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と等距離であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}AQ &= \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - (-1))^2 +(z - 1)^2}\hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{4 +y^2 +2y +1 +z^2 -2z +1} \\[0.5em] &= \sqrt{y^2 +2y +z^2 -2z +6} \\ \end{aligned} $$

点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)と等距離であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}BQ &= \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 1)^2 +(z - 1)^2} \hspace{10pt}\\[0.5em] &= \sqrt{y^2 -2y +z^2 -2z +2} \\ \end{aligned} $$

点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)と等距離であることから

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}OQ &= \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2 +(z - 0)^2} \hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{y^2 +z^2 } \\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}AQ = OQ\hspace{2pt}\)であることから\(\hspace{2pt}AQ^2 = OQ^2\hspace{2pt}\)より

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}y^2 +2y +z^2 -2z +6 &= y^2 +z^2 \hspace{10pt} \\[0.5em] 2y -2z &= -6 \\[0.5em] y -z &= -3 \cdots (1) \hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}BQ = OQ\hspace{2pt}\)であることから\(\hspace{2pt}BQ^2 = OQ^2\hspace{2pt}\)より

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} y^2 -2y +z^2 -2z +2 &= y^2 +z^2 \hspace{10pt} \\[0.5em] y +z &= 1 \cdots (2) \hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

(1)式と(2)式を解くと\(\hspace{1pt}y = -1 \hspace{1pt},\hspace{1pt} z = 2\hspace{2pt}\)となります。

したがって、求める点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)の座標は\(\hspace{1pt}(0,-1,2)\hspace{2pt}\)となります。

【出題範囲】　　【難易度】




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